複素解析① コーシー・リーマンの方程式
コーシーリーマンの関係式とは？その導出
正則とは？
正則について紹介しておきます。 正則とは複素数の意味で微分可能、つまり、多変数関数の極限と同じことが言えます。 多変数関数の極限は、 こちらの記事を参考にしてください。以下、$z$を
\begin{align*}z=x+iy(x,y\in\mathbb{R})\end{align*}
とします。(複素数平面上で実軸と虚軸の話を考えれば自然ですね)
また、複素関数$f(z)$を実数値関数$u(x,y),v(x,y)$を用いて、
\begin{align*}f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\end{align*}
と、定義します。(左辺と右辺で引数が異なるのは不自然ですがとりあえずこうおきます)
コーシー・リーマンの方程式を証明する
$f(z)$が微分可能ならば\begin{align*}\left\{\begin{array}{p}u_{x}=v_{y}\\ u_{y}=-v_{x}\end{array}\right.\end{align*}
が成り立ちます。これをコーシー・リーマンの方程式といいます。
では、この証明をします. $f(z)が点z_{0}$で微分可能とは...
\begin{align*}\displaystyle \lim_{z\to z_{0}}\dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\end{align*}
が存在することをいいます。
極限が存在するとは...
をいいます。
では、近づけ方によらないので、
(2)$x=x_{0}$で$x$を固定して$y$を動かす.
この二つの場合を考えます。
(1) $z-z_{0}=x-x_{0}$のとき
\begin{align*}
&\lim_{z\to z_{0}}\dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\\
=&\displaystyle \lim_{x\to x_{0}}\dfrac{\{u(x,y_{0})+iv(x,y_{0})\}-\{u(x_{0},y_{0})+iv(x_{0},y_{0})\}}{x-x_{0}}\\
=&\displaystyle \lim_{x\to x_{0}}\left\{\dfrac{u(x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}}+i\dfrac{v(x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}}\right\}
\end{align*}
ここで,最後の部分は偏微分ということです。
つまり、
\begin{align*}\displaystyle \lim_{z\to z_{0}}\dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}=u_{x}+iv_{x}\end{align*}
$z-z_{0}=i(y-y_{0})$のとき
\begin{align*}
&\displaystyle \lim_{z\to z_{0}}\dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\\
=&\displaystyle \lim_{y\to y_{0}}\dfrac{\{u(x_{0},y)+iv(x_{0},y)\}-\{u(x_{0},y_{0})+iv(x_{0},y_{0})\}}{i(y-y_{0})}\\
=&\displaystyle \lim_{y\to y_{0}}\left\{\dfrac{u(x_{0},y)-u(x_{0},y_{0})}{i(y-y_{0})}+i\dfrac{v(x_{0},y)-v(x_{0},y_{0})}{i(y-y_{0})}\right\}\\
=&\displaystyle\lim_{y\to y_{0}}\left\{-i\dfrac{u(x_{0},y)-u(x_{0},y_{0})}{y-y_{0}}+\dfrac{v(x_{0},y)-v(x_{0},y_{0})}{y-y_{0}}\right\}
\end{align*}
先ほどと同様に
\begin{align*}\displaystyle \lim_{z\to z_{0}}\dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}=-iu_{y}+v_{y}\end{align*}
また,極限が一致するので,
\begin{align*}u_{x}+iv_{x}=-iu_{y}+v_{y}\end{align*}
ここで、$u(x,y),v(x,y)$は実数値関数でした。
つまり、実部と虚部をそのまま比べればよく,
\begin{align*}u_{x}=v_{y},u_{y}=-v_{x}\end{align*}
となり、コーシー・リーマンの方程式が得られました。
使い道はいろいろあるのですが、ひとつ. たとえば,$v(x,y)$がとてつもなく微分しにくい関数だったとします. こういうとき、できるだけ直接計算は避けたいのですが、このとき、$v(x,y)のx$の偏微分は$u(x,y)のy$の偏微分で得られます。
計算ミスをしていないかもこの式で確認することができます。
逆は成り立つか？
・関数$f(z)$が正則$\Rightarrow$コーシー・リーマンの方程式が成り立つ。という命題は成り立ちますが、逆は不成立です。逆が成り立つには全微分$df(z)$が連続量である必要があります。これはつまり、$u(x,y),v(x,y)$のすべての偏導関数が連続であることと言い換えられるので、
\begin{align*}u(x,y),v(x,y)のすべての偏導関数が連続かつコーシー・リーマンの方程式が成立\Rightarrow関数f(z)が正則\end{align*}
ということができます。
・正則であるときのみコーシーリーマンの方程式が成り立つ。
導出からもわかるように正則でないと、多方向の極限が一致することはありません。その意味で正則というのはとても重要な事項になります。