複素解析⑤ 留数とはなにか・留数定理
留数・留数定理とは
\begin{align*}f(z)=\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \dfrac{c_{-k}}{(z-\alpha)^k}+\sum_{k=0}^\infty c_k (z-\alpha)^k\end{align*}
このとき、$(z-\alpha)^{-1}$の係数$c_{-1}$のことを留数といいます。なぜわざわざこのように名前がついているかというと、複素積分が
\begin{align*}\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=2\pi i c_{-1}\end{align*}
と表せるからです。(ただし、$C$は点$\alpha$を囲む領域$D$内の経路とします。)証明は簡単です。ローラン級数について、$z=Re^{i\theta}+\alpha$として複素積分を直接計算すると、
\begin{align*}
&\int_0^{2\pi} \left(\dfrac{c_{-1}}{Re^{i\theta}}+\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \dfrac{c_{-k}}{R^k e^{ik\theta}}+\sum_{k=0}^\infty c_k R^k e^{ik\theta}\right)iRe^{i\theta}d\theta \\
&=\int_0^{2\pi} \left(ic_{-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \dfrac{ic_{-k}}{R^{k-1} e^{i(k-1)\theta}}+\sum_{k=0}^\infty ic_k R^{k+1} e^{i(k+1)\theta}\right)d\theta
\end{align*}
ここで、$e^{in\theta}=\cos{n\theta}+i \sin{n\theta}(n\in \mathbb{N})$は$0$から$2\pi$で積分すれば0になります。さらに、
}\begin{align*}e^{-in\theta}&=\cos{(-n\theta)}+i \sin{(-n\theta)}\\&=\cos{n\theta}-i\sin{n\theta}\end{align*}
も同様に$0$から$2\pi$で積分すれば0になります。
留数定理とは？
よって、残るのは、定数部分の$ic_{-1}$のみとなります。これを$0$から$2\pi$で積分すれば、\begin{align*}2\pi ic_{-1}\end{align*}
となります。結局留数のみが残るということを留数定理といいます。