複素解析⑥ 留数を求めるための公式
留数の求め方とは,その公式
\begin{align*}\mathrm{Res}[f,\alpha]=\displaystyle \dfrac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to\alpha}\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}z^{n-1}}\left\{(z-\alpha)^n f(z)\right\}\end{align*}
という公式で求められます。点$\alpha$が第$n$位の極のとき、ローラン級数展開は
\begin{align*}
f(z)&=\sum_{k=-n}^\infty c_k(z-\alpha)^k\\
&=\dfrac{c_{-n}}{(z-\alpha)^n}+\dfrac{c_{-(n-1)}}{(z-\alpha)^{n-1}}+\cdots
\end{align*}
ここで、辺々に$(z-\alpha)^n$をかけると、
\begin{align*}
(z-\alpha)^n f(z)=c_{-n}+c_{-(n-1)}(z-\alpha)+\cdots+c_{-1}(z-\alpha)^{n-1}+\cdots
\end{align*}
ところで、今求めたい留数というのは$c_{-1}$のことです。この辺々を微分すると、
\begin{align*}
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left\{(z-\alpha)^nf(z)\right\}=c_{-(n-1)}+\cdots+(n-1)c_{-1}(z-\alpha)^{n-2}+\cdots
\end{align*}
あと、$n-2$回微分すると、
\begin{align*}\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}z^{n-1}}\left\{(z-\alpha)^nf(z)\right\}=(n-1)!c_{-1}+\dfrac{n!}{1!}c_0(z-\alpha)+\cdots\end{align*}
ここで、$z\to\alpha$とすれば、
\begin{align*}\lim_{z\to\alpha}\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}z^{n-1}}\left\{(z-\alpha)^nf(z)\right\}=(n-1)!c_{-1}\end{align*}
すなわち、
\begin{align*}\mathrm{Res}[f,\alpha]=c_{-1}=\dfrac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to\alpha}\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}z^{n-1}}\left\{(z-\alpha)^n f(z)\right\}\end{align*}
となり、留数を求める公式が求められました。