測度論③ 測度のイメージ・測定の原理

測度の定義・外測度と内測度の持つ意味

外測度、内測度についてふと考えていたらいいイメージを思いついたのでここに残しておきます. なんか外測度、内測度って数式での細かい定義ばかりでうんざりしますよね. だから、日常生活の中でイメージを立ててみます.

たとえば,トイレットペーパーの芯の１周の長さはいくつかなーって考えます じゃあたとえば,メジャーで測ることにしましょう. まあ普通の人なら多分外から巻き付けますよね。

こんなふうに（黒がトイレットペーパーの芯、赤がメジャーだと考えてください） でもこれってホントに芯の周の長さなん？絶対それより大きいやろ！！！ って突っ込みたくなります。 だから今度は内側から計測してみます。

(黒がトイレットペーパーの芯、青が内側から測るメジャーだと考えてください) でも、これ、絶対芯の周の長さより小さいやん！ わからへんやん！！！！！ って突っ込みたくなります. でもせっかく調べたのでこれらを使って,不等式をつくって評価してみることにしました

はさみうちの原理で極限を求める

外からの測定値は外測度、内からの測定値は内測度と呼ぶことにして、 それぞれ,$\overline{m},\underline{m}$で表すことにします. 真の芯の一周の長さ$m$は
$\underline{m}\leq m\leq \overline{m}$
となります. なんやねん測定値わからへんやん！！！！ っておもったそこのあなた！！！！ もし,
$\overline{m}=\underline{m}$
だったら？？？ $m$はもう確定しますね！ 実際トイレットペーパーの芯の紙が十分薄ければメジャーで測ったぐらいでは違いは出なくなるでしょう！ だからみなさんは測りやすい外から測りがちなんですけど、その原理はこういうことです。

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