常微分方程式④ ベルヌーイ(Bernoulli)の微分方程式
ベルヌーイの微分方程式の一般解・特殊解
\begin{align*}y'+p(x)y=q(x)y^{n}\end{align*}
つまり非線形なものです.
非線形の微分方程式はかなり解くのが難しいです
たとえば代数方程式($x=\cdots$を求める方程式)も二次方程式は一次方程式に比べれば公式を使わないといけないようになったり少ししんどくなりますよね
というわけで非線形な問題は非常に複雑なものが多いですがこの形の微分方程式は意外と簡単に解けるわけです。 難しい微分方程式では特殊解が見つからないと手が付けられないことも多いですが、実は今回は特殊解を求めることなく一般解を求めることができます。
ベルヌーイの微分方程式の例題
覚えてもらうことは一つで十分かな。\begin{align*}u=y^{1-n}\end{align*}
この変数変換をします. 多分それだけ覚えておけば大丈夫です。
では解の導出だけしておきましょう.
上で置いた変数を微分してみると,
\begin{align*}u'=(1-n)y^{-n}y'\therefore y'=\dfrac{1}{1-n}y^{n}u'\end{align*}
つまり,元の微分方程式はこうなるわけです。
\begin{align*}u'y^{n}+(1-n)p(x)y=(1-n)q(x)y^{n}\end{align*}
この式には従属変数、(つまり、$x$の関数)が二つも存在するわけです。
結局これでは意味ないわけで。
だからここから$y$を消去したいのです.(つまり$u$だけの微分方程式にしたい)
$u=y^{1-n}$より、この形を無理やり作ってみましょう.
一階線形微分方程式に帰着する
辺々を$y^{n}$乗で割ると\begin{align*}u'+(1-n)p(x)y^{1-n}=(1-n)q(x)\end{align*}
ここで,$u=y^{1-n}$だったので、置き換えると
\begin{align*}u'+(1-n)p(x)u=(1-n)q(x)\end{align*}
これは$u$についての一階線形微分方程式となりました.
この式を解いて,$1-n$乗すれば(元に戻せば)いいわけです。