エネルギー運動量テンソルとネーターの定理
この話は解析力学で扱うこともあるでしょうが，4元の式(つまり相対論的な話)を解析力学のところに書くと解析力学のハードルが上がる気がしたのでこちらのジャンルにいれました
変分をとってエネルギー運動量テンソルを導出
ここでは，\(x^\mu\to x^\mu+a^\mu\)という微小変化が起こったと考えます．ここでは，
ラグランジアン密度が場\(\phi\)と\(\partial_\mu \phi\)にのみ依存するとして考えます．このとき，ラグランジアン密度の変分は，変分と微分が交換可能であることに留意して，
\begin{align}
\delta\mathcal{L}&=\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\delta(\partial_\mu\phi) \nonumber \\
&=\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta\phi+\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\partial_\mu (\delta \phi)
\end{align}
この第一項について，オイラー・ラグランジュ方程式より，
\begin{align}
\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_\mu\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}=0
\end{align}
であるから，以下のように書きなおすことができる．
\begin{align}
\delta\mathcal{L}=\partial_\mu \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\phi+\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu(\delta\phi)
\end{align}
さらに積の微分公式を用いることにより，
\begin{align}
\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left\{\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi\right\} \label{eq:18.5}
\end{align}
ここで，\(\phi,\mathcal{L}\)の変分を考えると，1次のテイラー展開をしてみて
\begin{align}
\phi(x^\nu+a^\nu)\approx \phi(x^\nu)+a^\mu \partial_\nu \phi(x^\nu)
\end{align}
となるので，
\begin{align}
\delta\phi\approx a^\nu \partial_\nu \phi(x^\nu)
\end{align}
同様にラグランジアン密度の変分は，
\begin{align}
\delta\mathcal{L}
&=\mathcal{L}(x^\nu+a^\nu)-\mathcal{L}(x^\nu)\\
&\approx a^\nu\partial_\nu \mathcal{L}(x^\nu)
\end{align}
以上より，\eqref{eq:18.5}は以下のように変形できます．
\begin{align}
\partial_\mu \left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\partial_\nu\phi-\delta^\mu_\nu\mathcal{L}\right)a^\nu=0
\end{align}
さて，この被微分項に注目すると，
\begin{align}
\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\partial_\nu\phi-\delta^\mu_\nu\mathcal{L} \label{eq:18.11}
\end{align}
この式をエネルギー運動量テンソルといい，\(T^\mu_\nu\)と表します．特に\(\mu=\nu=0\)の場合に注目します．第一項について，
\begin{align}
\pi^\mu\stackrel{def}{=}\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}
\end{align}
とすれば，\(\mu=0\)で正準運動量密度であり，ハミルトニアンが運動量\(p\)と座標\(q\),ラグランジアン\(L\)に対して，
\begin{align}
H(p,q)=\sum_i p_i\dot{q_i}-L
\end{align}
と定義されたのと似ていますね．\eqref{eq:18.11}は
ハミルトニアン密度ということになります．また，\(i=1,2,3\)について，運動量\(P_i\)は，エネルギー運動量テンソルを用いて，
\begin{align}
P_i=\int T^0_i d^3x \label{eq:}
\end{align}
と表せます．
ネーターの定理とネーターカレント，ネーターチャージ
\eqref{eq:18.5}をもう一度利用します．ただし，ここでは
ラグランジアン密度の変化がある関数の微分となるような変化，つまり\(\delta\mathcal{L}=\partial_\mu K^\mu\)の条件下のみを考えます．この場合では，\eqref{eq:18.5}を変形して，
\begin{align}
\partial_\mu\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\delta \phi-K^\mu\right)=0
\end{align}
が成り立ちます．つまり，
\begin{align}
J^\mu\stackrel{def}{=}\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\delta \phi-K^\mu
\end{align}
とすれば，
\begin{align}
\partial_\mu J^\mu=0
\end{align}
となります．この\(J^\mu\)を
ネーターカレントと呼びます．つまり，
ラグランジアン密度が不変に保たれるとき\(J^\mu\)は保存されることになります．さらに
ネーターチャージを
\begin{align}
Q\stackrel{def}{=}\int J^0 d^3x
\end{align}
と定義します．この式はエネルギー運動量テンソルと運動量の関係と同じ形をしていますね．つまり，エネルギー運動量テンソルは実はネーターカレントで運動量やエネルギーがネーターチャージになっていたということです．
