線形代数④ 掃き出し法による連立方程式の解法
掃き出し法による連立方程式の解法
行列というツールを用いて、連立方程式の解を求めましょう。行列の形で連立方程式を表す
前回用いていた行列$A$として、\begin{align*}
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & -1 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
を用います。ここで3元の連立方程式
\begin{align*}
x&+y&+z&=6 \\
-x& &-z&=-4 \\
2x& &+z&=5
\end{align*}
を解くことを考えましょう。以下のように、縦ベクトル$\boldsymbol{x}$と$\boldsymbol{b}$($3$$\times$$1$の行列)を用意します。いま、ベクトルは太字にして書きます。(一般的にベクトルのみを太字で書くことが多いです。)
\begin{align*}
\boldsymbol{x}&=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{b}&=
\begin{pmatrix}
6 \\
-4 \\
5
\end{pmatrix}
\end{align*}
こうおくと、連立方程式は
\begin{align*}
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}
\end{align*}
となります。いま、$A$は係数を決める行列なので、係数行列といいます。上の式の辺々に左から$A^{-1}$をかけると、
\begin{align*}
A^{-1}A\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}
\end{align*}
ここで、$A^{-1}A$は単位行列になるので、左辺は$\boldsymbol{x}$になります。よって、
\begin{align*}
\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}
\end{align*}
となります。実際、前回の記事で$A^{-1}$は求めてあるので、計算すると、
\begin{align*}
\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
6 \\ -4 \\ 5
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}
\end{align*}
となり、解が求まります。ただ、これだと、逆行列を求める(掃き出し法による行列の簡約化)→行列の積を計算する、というプロセスがあるので少し面倒です。
そこで、掃き出し法による簡約化のみで解を導きだしましょう。
拡大係数行列とは?
以下の様に$A$と$\boldsymbol{b}$を並べた行列を拡大係数行列といいます。\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A\ \boldsymbol{b}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 6 \\
-1 & 0 & -1 & -4 \\
2 & 0 & 1 & 5
\end{pmatrix}
\end{align*}
この拡大係数行列を簡約化することで解が求まります。この係数を簡約化すると、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\end{align*}
となり、一番右の列に解がでてきます。これは簡約化という作業が各行の定数倍を足したり引いたりして邪魔な数を消していくという点で、実質、連立方程式を解くことと同じであることを考慮すれば理解しやすいのではないでしょうか。