偏微分方程式① 偏微分方程式入門
偏微分方程式の解き方とは?
簡単な偏微分方程式の一般解を求める
たとえば以下のような方程式を解きます。\begin{align*}
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0
\end{align*}
この解は
\begin{align*}
f(x,y)=g(y)
\end{align*}
となります。($g(y)$は任意の関数)
これが1変数関数の常微分方程式だったら、
\begin{align*}
\dfrac{df(x)}{dx}=0
\end{align*}
を解けば、定数$C$を用いて
\begin{align*}
f(x)=C
\end{align*}
となります。常微分方程式では解の自由度として任意定数というものが登場しました。その代わりに、偏微分方程式では任意関数という形で自由度が得られます。
簡単な例題を解いていみる
簡単な形の例題を解いてみます。\begin{align*}
\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}=0
\end{align*}
この式を以下のように変形します。
\begin{align*}
\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)=0
\end{align*}
こうすれば任意関数$g(y)$を用いて,
\begin{align*}
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=g(y)
\end{align*}
となります。続いてこの式を解きます。実はこれを積分した式にさらに$x$の関数がついてもいいわけです。つまり、任意関数$g(y)$を用いて、
\begin{align*}
f(x,y)=\int g(y)dy +h(x)
\end{align*}
となります。ここで、積分の項もただの任意関数なので、改めて$g(y)$と置き換えて、
\begin{align*}
f(x,y)=g(y)h(x)
\end{align*}
となります。($g(y),h(x)$は任意関数)
次に、
\begin{align*}
\dfrac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=0
\end{align*}
を解いてみます。また、
\begin{align*}
\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)=0
\end{align*}
という形に変形してみれば、任意関数$g(y)$をもちいて
\begin{align*}
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=g(y)
\end{align*}
となります。この式を解いてみれば、また任意関数$h(y)$をもちいて
\begin{align*}
f(x,y)=g(y)x+h(y)
\end{align*}
となります。
今回扱ったような1項のみの簡単な式は多少感覚的に解かなければいけないので偏微分してもとに戻るか確かめたほうがいい気がします。