らむねの物理法則

ベルヌーイの定理と連続の方程式 非圧縮で粘性がないという特殊な条件でベルヌーイの定理が導けます．あと，もう一つ問題をとくカギになるのが連続の方程式でこの式も同様の条件下では非常に簡単な式になります．これらを組み合わせて問題を解くことになります． ベルヌーイの定理とは? ベルヌーイの定理 密度$\rho$、基準面からの高さ$h$、速さ$v$、圧力$p$の流体に関して、非圧縮$\left(\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0\right)$で、かつ粘性がない場合に、 \begin{align*} \dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=\text{一定} \end{align*} ベルヌーイの定理の意味 ベルヌーイの定理の式 \begin{align*} \dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=\text{一定} \end{align*} は一見複雑ですがこの式が成り立つ仕組みは単純に力学的エネルギー保存則です．たとえば，この辺々に液体の体積\(V\)をかけてみましょう．\(m=\rho V\)とすれば， \begin{align*} \dfrac{1}{2}mv^2+mgh+pV=\text{一定} \end{align*} となります．(この形の式は普通書きませんが次元の説明のために書いています．)第三項の\(pV\)がエネルギーの次元を持っているのはわかると思います．．． 連続の方程式(連続の式)を簡単な形にする 連続の方程式 \begin{align*} \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{v})=0 \end{align*} この意味は、流体が絶えず流れているときには流体の密度が変化すれば速度も変化するはずだということです．逆に、流体の密度が大きく(圧縮される)なれば，小さくなるはずです． 狭い入口に多くの人が殺到したら通るのには時間がかかりますが，狭い入口を突破すればスムーズに移動できますよね(?)というイメージです． ところで，この記事ではいくつか条件を課していたのでした．たとえば，

強制振動と単振動の関係 強制振動とは振動に外力を加えている振動のことです。まず単振動の式を書いてみます。 \begin{align} m\ddot{x}=-m\omega^2 x \end{align} ここで、たとえば粘性抵抗がはたらく場合、比例定数を$2k$として、(解きやすくするために係数に2をつけています) \begin{align} m\ddot{x}=-m\omega^2 x-2k\dot{x} \end{align} となります。さらに外力$f_0 \sin{\omega_1 t}$が加えられるときには、 \begin{align} m\ddot{x}=-m\omega^2 x-2k\dot{x}+f_0\sin{\omega_1 t} \end{align} 2階定係数線形常微分方程式を解く 以下のように整理しましょう。 単振動に外力・抵抗が加わっている場合 \begin{align} m\ddot{x}+2k\dot{x}+m\omega^2 x=f_0\sin{\omega_1 t} \end{align} この微分方程式を解くことを考えます。このままだと少し考えにくいので、$\ddot{x}$の係数を1にします。 \begin{align} \ddot{x}+\dfrac{2k}{m}\dot{x}+\omega^2 x=\dfrac{f_0}{m}\sin{\omega t} \label{eq:5} \end{align} この方程式を解きます。外力項の加わった微分方程式の解は、外力項が0の一般解とこの方程式の特殊解の和をとることで導けます。まずは、外力項を0とした、 \begin{align} \ddot{x_g}+\dfrac{2k}{m}\dot{x_g}+\omega^2 x_g=0 \end{align} を解きます。($x_g$は一般解)このとき、特性方程式は、 \begin{align} \lambda^2+\dfrac{2k}{m}\lambda+\omega^2&=0\\ \lambda &= -\dfrac{k}{m}\pm{\sqrt{\left(\dfrac{k}{m}\right)^2-\o

ひずみ、弾性率とは? まずひずみという量を考えましょう。この量は 無次元 であることが最も重要に思います。たとえば、長さ$l$の物体が$\Delta l$だけ長さが変化すれば、そのひずみは、 \begin{align*}\varepsilon=\dfrac{\Delta l}{l}\end{align*} となります。また、弾性体の分野では 応力 というものを考えます。別に何も難しいことはなく、物体を縮める方向に働く圧力と、物体を伸ばす方向に働く張力、その他諸々をまとめて応力と呼ぶだけです。以下、応力を$f$と表記しますが、この次元は、「力/面積」です。 次に応力$f$とひずみ$\varepsilon$から弾性率を定義します。 ヤング率 弾性体を 伸び縮み する方向に変化させるような応力がはたらいたとき、定数$E$に対して ヤング率と応力の関係 \begin{align*}f=E\varepsilon\end{align*} という関係があり、この$E$をヤング率と呼びます。棒の伸び縮みがよく例に出てきます。 ずれ弾性率(剛性率) 弾性体をずらす方向(平面に接する方向)に応力を与えたとき、定数$G$に対して、 ずれ弾性率と応力の関係 \begin{align*}f=G\varepsilon \end{align*} という関係があり、この$G$をずれ弾性率、または剛性率といいます。 体積弾性率 弾性体に対して、全体に均等な応力がはたらいたとき、定数$k$に対して、 体積弾性率と応力の関係 \begin{align*}f=-k\varepsilon\end{align*} という関係があり、この$k$を体積弾性率といいます。この体積弾性率を考えるときにはひずみが、 \begin{align*}\varepsilon=\dfrac{\Delta V}{V}\end{align*} となっています。とはいえ、やはり無次元の量です。この体積弾性率がでてくるのはたとえば水圧とか。(体積が十分小さいとして一様な圧力がはたらいているとする必要がありますが...) 体積弾性率の定義の覚え方 $k$の前のマイナスについて説明します。これを考えるのに重要なことは、 ・物理定数は基本

慣性モーメントによる運動方程式 慣性モーメントを用いると、回転に関する運動方程式が簡単に記述できます。 力のモーメントの定義 慣性モーメントを用いた角度方向の運動方程式 \begin{align*}I\dfrac{d^{2}\boldsymbol{\theta}}{dt}=I\dfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=\boldsymbol{N}=\boldsymbol{r\times F}\end{align*} ただし、$\boldsymbol{r}$は位置を表すベクトル、$\boldsymbol{F}$は外力、$\boldsymbol{N}$は力のモーメント(トルク)です。 力のモーメント$\boldsymbol{N}$はベクトル量なので太字になっています。ちなみにこのベクトルの向きは位置ベクトルとも外力とも垂直な向きになります。モーメントの定義式は順番まで気にする必要があります、後で解説します。 なんだか運動方程式にすごく似ているように思えないでしょうか。 ちなみに$\boldsymbol{\theta}$は角度、$\boldsymbol{\omega}$は角速度ですから、$\boldsymbol{\theta}$を$t$で微分すれば$\boldsymbol{\omega}$になります。 力のモーメントの数学的な定義 また、力のモーメントの定義は外積によって定義されています。 これを言葉で説明すれば、力のベクトルを位置を表すベクトル$\boldsymbol{r}$に垂直な成分と平行な成分に分解し、垂直な成分と軸との距離との積を取っています。 念押しですが、外積の計算結果はベクトルになるので、力のモーメントはベクトル量です。ベクトルの向きは図では上向きです。 外積の向きというのは、右ねじの考え方を使って考えるのでした。だから$\boldsymbol{r\times F}$とモーメントを定義すれば、上向きにモーメントが向きます。 角運動量の定義 角運動量 \begin{align*}\boldsymbol{l=r\times p}\end{align*} ただし、$\boldsymbol{r}$は位置を表すベクトルで、$\boldsymbol{p}$は運

慣性モーメントとは? 今回は角度の話に関連して慣性モーメントを紹介します。 慣性モーメントとは物体の回転させにくさ、回転運動している物体の回転を止めにくさ、だとかよく言われます。角度に関連した式を立てたいときには慣性モーメントを用います。 慣性モーメントの定義とは? 慣性モーメント $z$軸周りの慣性モーメントを、$(x,y)$の点に微小質量$\Delta m$を持つ質点があると考えて、 \begin{align*} I=\displaystyle \sum_{(x,y)\in A}\Delta m(x,y)(x^2+y^2)=\displaystyle \sum_{(x,y)\in A}\Delta m(x,y)r^2 \end{align*} ただし、$r=\sqrt{x^2+y^2}$としました。 特に、連続な大きさを持つときはこの式を積分で置き換えればよいです。 わかりやすい例、例えば質点を考えましょう。 質点と剛体の扱い方の違い 質点とは大きさを無視した一点に質量が集中している点のことです。質点のほうが考えるのが簡単なので、質量$m$の質点が$(x,y,z)$にあるときを考えます。 慣性モーメントは回転のことを考えているので、回転軸を考える必要があります。原点を通り$xy$平面に垂直な軸($z$軸)まわりの質点の慣性モーメントは, \begin{align*}m(x^{2}+y^{2})\end{align*} となります。 ここからは質点ではなく大きさを持った物体について考えてみようと思います。 大きさがある場合の積分を用いた慣性モーメント 大きさを持つ物体の慣性モーメントの計算 単位面積あたりの質量が$\sigma(x,y)$の物体を考えると、$z$軸まわりの慣性モーメントは \begin{align*} I=\iint_{\text{全範囲}}\sigma(x,y)(x^2+y^2)dxdy \end{align*} となります。$x,y$の2次元の積分を行うという意味でインテグラルを2個つけていますが省略して一個のインテグラルで済ますこともあります。 ここでは、先ほどの慣性モーメントの式で、$(x,y)$の点に存在する質量を$\Delta m(

仕事の計算と保存力・ナブラの使い方 ナブラの計算と仕事の線積分の計算例あたりをまとめています。 運動方程式からエネルギーと運動量を求める 気を付けてほしいのは、 運動量はベクトル、エネルギーはスカラー、速度$v$がベクトル です。 その$v$の一次式である運動量はベクトル、二次式(つまり内積で絶対値をとったもの)であるエネルギーはスカラーになります。（1次、とかいう表現はベクトルに対して不適かもしれませんが、こう説明しておきます、考え方です。） 今回も運動方程式から出発しておくと、 \begin{align*} m\dfrac{d^{2}\boldsymbol{x}}{dt^{2}}=m\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\boldsymbol{F}\ \therefore m\ d\boldsymbol{v}=\boldsymbol{F}\ dt \end{align*} この式の左辺が運動量$\boldsymbol{p}$の微小変化です。 この辺々と$\boldsymbol{v}$の内積を取って、辺々を積分します。$t=0$で初速度$\boldsymbol{v_0}$，初期位置$\boldsymbol{x_0}$として計算します。積分の変数には積分範囲を表す文字と区別するためにプライムをつけています。 \begin{align*} \dfrac{1}{2}m\boldsymbol{v}^{2}-\dfrac{1}{2}m\boldsymbol{v_0}^2=\displaystyle \int_0^t \boldsymbol{F}・\boldsymbol{v}dt^\prime =\int_{\boldsymbol{x_0}}^{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{F}・ d\boldsymbol{x^\prime} \end{align*} ここで、この右辺は仕事を表しています。 つまり、もし，初速度が$\boldsymbol{v_0}=\boldsymbol{0}$なら， 速さが$v$になるまでに加える仕事を運動エネルギー \begin{align*} \dfrac{1}{2}m\boldsymbol{v}^{2} \end{align*} としているという

ニュートンの運動方程式を解く。慣性抵抗，粘性抵抗など 微分方程式を力学に応用したいと思います. 前回は結構大雑把に計算をしましたが, 今回は数学的にも丁寧にやろうと思います. 問題を解くうえでの 初手はとりあえず運動方程式を立ててみる だということです. 位置、速度、加速度の関係と微分表記 文字の上に点を一つつけて時刻$t$による一階微分，点を二つつけて時刻による二階微分を表します。まず，速度について, \begin{align*} \boldsymbol{v}=\boldsymbol{x}'=\dfrac{d\boldsymbol{x}}{dt}=\dot{x} \end{align*} これらは全部同じ意味です. $x$を時刻$t$で一階微分したものということです。 また、加速度について \begin{align*} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{v}'=\dot{\boldsymbol{v}}=\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\boldsymbol{x}''=\ddot{\boldsymbol{x}}=\dfrac{d^{2}\boldsymbol{x}}{dt^{2}} \end{align*} $x$の時刻$t$による二階微分、つまり,$v$の時刻$t$による一階微分です。 運動方程式を積分して位置や速度を求める では、実際に問題を解いていきましょう. 以下、解析する物体の質量を$m$とします. (1)外力が一定で$f$のとき また，初期位置を$x_0$,初期速度を$v_0$とします。 変数分離で解く方法も後で説明しているので，授業の解説と見比べている方はそちらもどうぞ。今回の場合の運動方程式は、 \begin{align*}m\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=f\end{align*} 運動方程式を立てたら、$a=\cdots$の形に直しましょう. \begin{align*}a=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\dfrac{f}{m}\end{align*} こういうわけで加速度が求まりました。 ここから、$v$と$x$を求めましょう。 $a,v,x$はそれぞれ微分、積分の関

ニュートンの運動方程式とは？その立て方 ニュートンの運動方程式を紹介します。(高校では$ma=F$という形で習ったものです。)ただ，これを微分方程式として操る必要があります。また，運動量などの物理量は運動方程式と結ぶつけて考えられるとなおよいかと。 ニュートンの運動方程式のベクトル表記 ニュートンの運動方程式 物体の位置を表すベクトル$\boldsymbol{x}$,物体にはたらく外力$\boldsymbol{F}$について \begin{align*}m\dfrac{d^{2}\boldsymbol{x}}{dt^{2}}=\boldsymbol{F} \end{align*} 運動方程式は力学を解析的に考察するための基本方程式です。 一般に，位置：$\boldsymbol{x}$　速度：$\boldsymbol{v}$　加速度：$\boldsymbol{a}$ 　時刻：$t$　として設定します。位置，速度，加速度はベクトル量です。ちなみに，ベクトルの微分は全成分をそれぞれ微分してあげればよいです。(後の記事で詳しく説明しています) $x$を$t$で微分すると$v$、$v$を$t$で微分すると$a$となります。 以下、いったん積分定数をすべて0として計算します。 運動量を導出する 外力$F$を一定だとしてみます。運動方程式の辺々を時刻$t$で積分すると、 \begin{align*}m\dfrac{d\boldsymbol{x}}{dt}=m\boldsymbol{v}=\boldsymbol{F}t\end{align*} これ、どこかで見たことありませんか? 力積と運動量の関係式ですね。つまり， 運動量は運動方程式から導かれます 。 位置と加速度の関係を導出する 先ほど運動方程式はベクトルといっていましたが，一つの軸だけを考える，つまり1次元の$x$方向で考えましょう。たとえば，重力のように外力$F$が一定のとき，加速度は一定ですね。つまり，速度$v$は$v=at$のように表せます(ここでも積分定数は無視しています。) 同様に，$v$は$x$を$t$で微分したものですから、$v$を$t$で積分すると、$x$になりますね。 こうして、$v=at$を両辺$t$で積分すると、 \begin{ali