らむねの物理法則

ポアソン括弧とは？ ポアソン括弧の定義とは？ ポアソン括弧 関数$f,g$と正準変数$\{p^i\}$と$\{q^i\}$について、 \begin{align*} \{f,g\}_{q,p}=\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{\partial f}{\partial q^i}\dfrac{\partial g}{\partial q^i}-\dfrac{\partial f}{\partial p^i}\dfrac{\partial g}{\partial q^i}\right)=-\{g,f\}_{q,p} \end{align*} ポアソン括弧に関連した式 ひとつめ 関数$f$の時間微分を考えます。 \begin{align*} \dfrac{df}{dt}&=\dfrac{\partial f}{\partial t}+\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{\partial f}{\partial q^i}\dfrac{dq^i}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial p^i}\dfrac{dp^i}{dt}\right) \end{align*} ここで、もちろん正準変数はハミルトン方程式を満たすので、 \begin{align*} \dfrac{\partial H}{\partial p^i}&=\dot{q}^i \\ \dfrac{\partial H}{\partial q^i}&=-\dot{p}^i \end{align*} という関係があります。よって、 \begin{align*} \dfrac{df}{dt}&=\dfrac{\partial f}{\partial t}+\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{\partial f}{\partial q^i}\dfrac{\partial H}{\partial p^i}-\dfrac{\partial f}{\partial p^i}\dfrac{\partial H}{\partial q^i}\right) \\ &=\dfrac{\partial f}{\partial t}+\{

正準変換とは？ 座標変換を超えて運動量とごちゃまぜで変換を行います。 新しい正準変数を考える 座標変換に対して、オイラー・ラグランジュ方程式は不変となります。さて、これをハミルトニアンについても同様に考えましょう。一般化座標$q_i$と共役運動量$p_i$について、ハミルトニアン$H_0$について正準方程式を満たすとしましょう。ここで、 \begin{align*} Q_i(p,q,t) \\ P_i(p,q,t) \end{align*} という新しい変数を用意したときに、新しいハミルトニアン$H$について、正準方程式を満たすような変換を正準変換と呼びます。 ラグランジアン・ハミルトニアンの自由度 以下では簡単のために、$i=1$として$(p,q)$$\mapsto$$(P,Q)$の場合だけ考えます。 ラグランジアンやハミルトニアンは全く同じ関数形である必要はありません。最小作用の原理で要求されているのは \begin{align*} I=\int_{t_1}^{t_2}L\ dt \end{align*} この作用積分が極小となるようなラグランジアンであればよいわけです。ラグランジアンの後に関数$W$の常微分項があったのなら、 \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2} \dfrac{dW}{dt}\ dt=\left. W\right|^{t_2}_{t_1}=W(t_2)-W(t_1) \end{align*} となり、途中の経路にはよらないですね。よって変分を考えても結局0になります。よって、正準変換前後のラグランジアンには時間の常微分項を付け加える自由度があります。 \begin{align} \dot{q}p-H_0=\dot{Q}P-H+\dfrac{dW}{dt} \label{am7-eq:1} \end{align} ここで用いた$W$を 母関数 と呼びます。 母関数について考える 母関数$W$$=$$W(q,Q,t)$を考えます。なぜこの引数なのかは後々説明するので先に進んでください。この時間微分項を計算すると、 \begin{align*} \dfrac{dW}{dt}=\dfrac{\partial W}{\partial

ルジャンドル変換とは？ 数学的にラグランジアンとハミルトニアンの関係を考えてみます。 ラグランジアンからハミルトニアンの変換 たとえば、解析力学ではラグランジアン$L$からハミルトニアン$H$への変換を行います。これは実はルジャンドル変換になっています。いま、実はオイラー・ラグランジュ方程式を考えればわかることですが、ラグランジアンは$q$,$\dot{q}$の関数ですが、ハミルトニアンは$q$と共役運動量$p$の関数になっています。 もちろん変数変換以上の意味を持っていて、ルジャンドル変換と名前がついています。ラグランジアンの全微分を考えます。 \begin{align*} dL=\sum_{i}\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\right) \end{align*} ここで、共役運動量の定義を用いれば、 \begin{align*} dL=\sum_i \left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+p_id\dot{q}_i\right) \end{align*} いま、作りたいのは$\dot{q}_i$から$p_i$に変数を変えた関数ですね。つまり、上の微小量を考えるうえで$d\dot{q}_i$が邪魔です。この文字を消すために、以下のようにハミルトニアンを定義することにします。 \begin{align*} H&=\sum_i \dot{q}_ip_i-L \\ \end{align*} この微小量をとると、再び共役運動量の定義を用いて、 \begin{align*} dH&=\sum_i\left(p_i\ d\dot{q}_i+\dot{q}_i\ dp_i\right)-\sum_{i}\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\right) \\ &=\sum_i\left(p_i\ d\dot{q}_i+\dot{q}_i\ d

ネーターの定理とは？ 前回個別に導いた定理を一般化します。 ネーターの定理の内容 ネーターの定理 系に 連続な対称性 があれば対応する保存則が存在する。 パリティ対称性などの離散的な対称性ではこの定理は成り立たないので注意です。 ネーターの定理の証明 まずは作用積分から出発します。 \begin{align*} I=\int_{t_1}^{t_2} dt\ L \end{align*} ただし、ラグランジアンは$i=1,2,\cdots ,n$について$q_i$,$\dot{q}_i$,$t$に依存するとします。ここで、作用積分の変分を取ることにします。 オイラー・ラグランジュ方程式の記事 では、時間の変化は無視しましたが、ここでは時間もずらしてみます。 \begin{align*} \delta I=\int_{t_1}^{t_2} dt\left[\sum_{i=1}^n\ \left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\right)+\dfrac{dL}{dt}\delta t\right] \end{align*} さて、和を取っている部分の第一項については各$i$について、オイラーラグランジュ方程式より、 \begin{align*} \delta I &=\int_{t_1}^{t_2} dt\left[\sum_{i=1}^n\ \left\{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta q_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q_i}\right\}+\dfrac{\partial L}{\partial t}\delta t\right] \\ &=\int_{t_1}^{t_2} dt\left[\sum_{i=1}^n\ \left\{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i

保存量となる物理量は? まず保存量というものを$i=1,2,\cdots,n$として 「一般化座標$q^i$と$\dot{q}^i$と時刻$t$によらず一定となる」 関数として説明します。 時間並進に対する保存量 ラグランジアン$L$は、$\{q^i\}$,$\{\dot{q}^i\}$に依存するものとして考えます。時刻に対しては依存しないことが言えます。これは、今から実験しても、10分後に実験をしてもその結果は周囲の状況が変わらない限りは結果は同じはずです。 というわけで時刻にあらわに依存はしません。というわけで時間による偏微分は0になります。ただし、常微分は0になるとは限りません、一般化座標が時間に伴って変化する場合があるからですね。よって、ラグランジアンの時間微分は以下のようになります。 \begin{align*} \dfrac{dL}{dt} &=\dfrac{\partial L}{\partial t}+\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{dq^i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial q^i}+\dfrac{d\dot{q}^i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right) \end{align*} さて、ここで先ほど述べたように第一項は0になります。後半の式についてオイラーラグランジュ方程式より、 \begin{align*} \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q^i}=0 \end{align*} が成り立つので$q^i$による微分を消去すると、 \begin{align*} \dfrac{dL}{dt} &=\sum_{i=1}^n \left\{\dfrac{dq^i}{dt}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right)+\dfrac{d\dot{q}^i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^

荷電粒子のラグランジアン・ハミルトニアン 前回までの記事でラグランジアンとハミルトニアン、また、それらに対応する方程式を紹介しました。今回は、その話を電磁気学に拡張してみます。 電磁気学でのラグランジアン・ハミルトニアン 荷電粒子の解析力学 ベクトルポテンシャル$A$,スカラーポテンシャル$\phi$、電荷$q$と電荷の位置$\boldsymbol{r}$に対して、 \begin{align} L&=\dfrac{1}{2}m \dot{\boldsymbol{r}}^2-q\left(\phi-\boldsymbol{\dot{r}\cdot A}\right)\label{eq-am4:1}\\ H&=\dfrac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-q\boldsymbol{A}\right)^2+q\phi\label{eq-am4:2} \end{align} という関係が成り立ちます。 以下では、 \begin{align*} \dfrac{\partial }{\partial \boldsymbol{r}}&= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x}\\ \dfrac{\partial}{\partial y}\\ \dfrac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} (=\nabla) \\ \dfrac{\partial }{\partial \dot{\boldsymbol{r}}}&= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial \dot{x}}\\ \dfrac{\partial}{\partial \dot{y}}\\ \dfrac{\partial}{\partial \dot{z}} \end{pmatrix} \end{align*} と表します。 ポテンシャルエネルギーの導出 ポテンシャルエネルギーが難しい理由 さて、ラグランジアンは、古典力学では運動エネルギー$K$,ポテンシャル$U$に対して \begin{align*} L=K-U \end{align*} と表されました。

ハミルトンの正準方程式とは？その導出 ハミルトニアンという量をラグランジアンを用いて定義して、そこから得られる方程式を考えます。 ハミルトンの正準方程式とは? ハミルトンの正準方程式 時刻$t$,一般化座標$q_i$,一般化運動量$p_i$に依存するハミルトニアン$H(p,q,t)$について、 \begin{align} \dfrac{\partial H}{\partial p_i}&=\dot{q_i} \label{eq-am3:1}\\ \dfrac{\partial H}{\partial q_i}&=-\dot{p_i} \label{eq-am3:2} \end{align} ハミルトニアン$H$についてはこのあと補足します。 共役運動量を定義する 共役運動量 一般化座標$q_i$とラグランジアン$L(q_1,\cdots,q_N,\dot{q_1},\cdots, q_N)$より、共役運動量$p_i$を以下のように定義する。 \begin{align} p_i\stackrel{def}{=}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \label{eq-am3:3} \end{align} この共役運動量ですが、正準方程式に従う運動量なので正準運動量と呼ばれたりいくつか呼び方が混在しているようです。 ハミルトニアンとルジャンドル変換 ハミルトニアン 新しい関数$H(q_1,q_2,\cdots,q_N,p_1,p_2,\cdots,p_N)$は、ラグランジアン$L$のルジャンドル変換として、 \begin{align} H=\sum_{i=1}^N p_i\dot{q}_i-L \label{eq-am3:4} \end{align} と定義されます。 なぜこの定義になるか、は 少し先の記事 で解説します。 ハミルトンの正準方程式の導出 前回の記事で求めたオイラー・ラグランジュの方程式を用いて、ハミルトンの正準方程式を導きたいと思います。ラグランジアンの全微分は、 \begin{align*} dL&=\sum_{i=1}^N\left(\dfrac{\partial L}{\partial

最小作用の原理からオイラーラグランジュ方程式を導く ここでは最小作用の原理を用いて作用積分オイラー・ラグランジュ方程式という物理学で広く使われている方程式を導出します。 最小作用の原理と作用積分 最小作用の原理 一般化座標$q$とその時間による一階微分に依存する ラグランジアン $L(q,\dot{q})$について、 作用積分 $I$を以下のように定義します。 \begin{align*} I\stackrel{def}{=}\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q})\ dt \end{align*} 物体の運動は作用積分が停留点を取るように運動します。 最小作用の原理と名前がついていますが、必ずしも最小ではなく、極値(停留点)をとるという点に注意してください。 オイラー・ラグランジュ方程式の導出 オイラー・ラグランジュ方程式 一般化座標$q$とその時間による一階微分に依存するラグランジアン$L(q,\dot{q})について \begin{align} \dfrac{\partial L}{\partial q}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0 \label{eq-am2:1} \end{align} が成り立ちます。 作用積分の始点と終点だけは変えずにどのような経路を取れば$I$が停留点にできるかを考えてみます。 この作用積分$I$を変分法を用いて停留点となるような値を考えます。 \begin{align} \delta I &=\int_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q})dt-\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q})dt\nonumber \\ &=\int_{t_1}^{t_2}\left\{L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q})-L(q,\dot{q})\right\}dt \label{eq-am2:2} \end{align} ここで、最右辺の被積分関数第1項について微小項なのでテイラー展開すると、 \begin{a