らむねの物理法則

過渡現象とは?抵抗，コイル，コンデンサの関係式 各素子に成り立つ微分関係をまとめます。抵抗、コイル、コンデンサーの電圧と電流の関係は、 $$ \left\{ \begin{align} v_R&=Ri_R \label{resistor}\\ v_L&=L\dfrac{di_L}{dt} \label{inductor}\\ i_C&=C\dfrac{dv_C}{dt}\label{capacitor} \end{align} \right.$$ $\eqref{inductor}$式は高校の教科書には符号がついていたと思いますが、どの向きを正に取るかの関係で正になっています。正直な話、コイルのはたらきを考えて、向きは確認してほしいところです。 さて、この関係を用いて回路の解析をしてみます。 電気容量$C$のコンデンサ,抵抗$R$を直列に接続し、電圧$e(t)$を加えると、 \begin{align} e(t)=v_R(t)+v_C(t) \end{align} という関係が成り立ちます。辺々を時間微分すると、 \begin{align} \dfrac{de(t)}{dt}=\dfrac{dv_R(t)}{dt}+\dfrac{dv_C(t)}{dt} \end{align} ここで、$\eqref{resistor}$式、$\eqref{capacitor}$式より、 \begin{align} \dfrac{de(t)}{dt}=R\dfrac{di_R(t)}{dt}+\dfrac{1}{C}i_C(t) \end{align} いま、直列接続なので、$i_R(t)=i_C(t)$という関係が成り立ち、これを$i(t)$とおくと、 \begin{align} \dfrac{de(t)}{dt}=R\dfrac{di(t)}{dt}+\dfrac{1}{C}i(t) \label{eq0} \end{align} ここで、定電圧$e(t)=E$で一定のときを考えましょう。左辺は0になるので、 \begin{align} \dfrac{di(t)}{dt}=-\dfrac{1}{RC}i(t) \end{align} この微分方程式は変数分離形の常

交流回路のインピーダンスの求め方 抵抗の一般化 電気回路では抵抗に加えて受動素子のコンデンサやコイルを扱うわけです。ですが、コンデンサやコイルの電流、電圧は90度の位相差が生じます。それを解析するために抵抗をさらに一般化してみようと思います。 オームの法則 に従えば、$R$の抵抗に電圧$V$を加えたときに流れる電流$I$は、 \begin{align} V=RI \end{align} でありこれに倣ってもっと広い意味での抵抗$Z$を導入して、 \begin{align} Z=\dfrac{V}{I} \end{align} となるような$Z$を インピーダンス といいます。ここで、インピーダンスは \begin{align} Z=R+jX \label{impedance} \end{align} ($j$は虚数単位であり、電流$i$と重複するので$j$を用いています。) ここで、$R$はもともとの抵抗成分でありこれを レジスタンス (意味はそのままですね)、$X$を リアクタンス といいます。結局インピーダンスは電流の流れにくさを示す値になります。 電流の流れやすさを定義する 電流の流れやすさを定義します。流れにくさが、$\eqref{impedance}$式で表されたことに倣えば、その逆数が流れやすさでありこれも複素数の範囲で表せることになります。つまり、 \begin{align} Y&=\dfrac{I}{V}\nonumber \\ &=G+jS \end{align} として、$Y$を アドミタンス 、$G$を コンダクタンス 、$S$を サセプタンス といいます。ちなみに単位は$\Omega$の逆数で、$S$( ジーメンス )といいます。 素子のリアクタンス 抵抗はそのままレジスタンス成分になります。問題はコンデンサとコイルです。 コイルは電圧が90度進むということを鑑みて、リアクタンスを \begin{align} X_L&=\omega L Z&=j\omega L \end{align} とします。直流が加わるときは$\omega=0$となり、コイルは定常状態(十分時間が経過)では短絡と同様であることがわかります。逆に