らむねの物理法則

コイルのインダクタンスとは? コイル・ソレノイドが発生させる磁場を計算する Biot-Savartの法則を用いてコイルの電流密度を計算します。以前一度導出しましたが、今回は円筒座標を用いて手っ取り早く導出したいと思います。 有限の長さの直線電流がつくる磁場 3次元空間を考えます。$z$軸上$z_1～z_2$を電流$I$が流れているものとしましょう。ここで，座標を$x=\rho\cos{\phi},y=\rho\sin{\phi}$として，計算しましょう。ここで，$z～z+dz$の電流が点$(x,y,0)$につくる磁場を計算します。 ビオサバールの法則は以下のような式で表されました。細かい文字や記号の意味は Biot-Savartの法則の解説記事 をご覧ください。 \begin{align*} d\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu I\ ds\times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|^3} \end{align*} $ds$というのは電流が流れている素片です。ところで，$(x,y)$平面内半径方向の単位ベクトルを$\boldsymbol{e_\rho}$として \begin{align*} \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime&=\rho\boldsymbol{e_\rho}-z\boldsymbol{e_z}\\ |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|&=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\nonumber \\ &=\sqrt{\rho^2+z^2}\\ d\boldsymbol{s}&=dz\boldsymbol{e_z} \\ d\boldsymbol{s}\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)&=\rho(dz)\boldsymbol{e_z\times e_\rho}\nonumber \\ &=\rho\boldsymbol{e_\phi}dz \end{ali

磁気双極子と磁性体、磁化と磁化電流 この記事では磁気の話をするわけですが...マクスウェル方程式はそれなりに磁場と電場に対して対称的です。ちなみに非対称にしているのは \begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{B}=0 \label{eq-em7:1} \end{align} という式でこれは 単磁荷の存在を否定 しています。実際磁荷をもつ素粒子は発見されていません。電場は電荷をもとにしていることを考えれば確かに非対称ですかね。 また、磁束が急に湧き出したり収束したりすることはないということがわかります。つまり，磁束線は閉曲線をなすということがわかります。 ローレンツ力の式と電流素片にはたらく力 電流素片にはたらく力 磁束密度$\boldsymbol{B}$中の電流$I$が流れる長さ$d\boldsymbol{l}$の導線にはたらく力は \begin{align} \boldsymbol{F}=I\ d\boldsymbol{l}\times \boldsymbol{B} \label{eq-em7:2} \end{align} \begin{align*} \boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}) \end{align*} このままでは少しやりにくいので$\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}$としてみます。また微小な電荷$dq$にはたらく微小な力を扱うことにしましょう。つまり， \begin{align*} d\boldsymbol{F}=dq\ \boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B} \end{align*} ということです。これをさらに変形すると， \begin{align*} d\boldsymbol{F}=\dfrac{dq}{dt}(\boldsymbol{v}dt)\times \boldsymbol{B} \end{align*} ここで$I=\dfrac{dq}{dt}$を用います。あと，$\boldsymbol{v}dt$は微小な項で，長さの次元(電流

ビオ・サヴァールの法則を導出 Biot-Savartの法則は、電流があると、磁束密度が存在するという内容です。これもMaxwell方程式から導出可能です。 ビオ・サバールの法則の内容 ビオ・サバ―ルの法則 電流$I$が流れる位置$\boldsymbol{r}^\prime$の微小部分$d\boldsymbol{s}$が位置$\boldsymbol{r}$につくる磁場は， \begin{align} d\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu I\ d\boldsymbol{s}\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)}{4\pi |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|^3} \label{eq:1} \end{align} ちなみに、この式の辺々は微小量なので実際に生じる磁束密度を計算するときには積分する必要があります。 マクスウェル方程式からの導出 導出に必要な方程式は? さて，実はこの式もマクスウェル方程式から導けます。方針はクーロンの法則を導出したときとほぼ同じです。ただし，ベクトルポテンシャル，スカラーポテンシャルなどの難しい話を経由します。 電磁ポテンシャルの記事 も参考にどうぞ。 以下のMaxwell方程式のうちのひとつを用います。$\boldsymbol{B}$を用いたいので、これを含むように透磁率$\mu$を用いて書いておきます。 \begin{align} \nabla\times\boldsymbol{B}&=\mu\boldsymbol{j}+\mu \dfrac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \label{eq:2} \end{align} ここで， \begin{align} \boldsymbol{E}&=-\nabla\phi-\dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} \\ \boldsymbol{B}&=\nabla\times\boldsymbol{A} \label{eq:4} \end{align} となります。 ゲージ条件を定める クーロンゲージ

電束密度と誘電体の関係・境界条件 誘電体とは導電性よりも誘電性が有利な物質です．つまり，電場を加えれば電流は流れませんが，電荷分布に偏りが生じます． 電気分極と電気感受率の定義 電気分極(誘電分極) 単位体積当たりの電気双極子モーメントを電気分極(誘電分極)とよぶ。 さて電荷分布に偏りが生じるということを具体的に説明します．当然誘電体も原子からなっていますが，原子核は電子よりも十分重いので，原子核が元の位置にとどまり電子のみが電場に反応して少し移動すると考えてよいでしょう。 つまり，これは 電気双極子ができる と考えてもよさそうです．各電気双極子に1,2,3,...とラベルを付けて，その電気双極子モーメントを$\boldsymbol{p_i}$としましょう．そのとき， \begin{align} \boldsymbol{P}\stackrel{def}{=}\dfrac{1}{V}\sum_i \boldsymbol{p_i} \label{eq:1} \end{align} という式を定義します．この$\boldsymbol{P}$を電気分極といいます．その意味で、単位体積当たりの電気双極子モーメントだといえます． 常誘電体とその電場との関係 電場がかかっていないときに電気分極が$\boldsymbol{P}=\boldsymbol{0}$となるような誘電体を 常誘電体 といいます．ちなみに $\boldsymbol{E}$がある程度小さい範囲では，$\boldsymbol{P}$は電場に比例 します．真空の誘電率$\varepsilon_0$を用いて \begin{align} \boldsymbol{P}=\varepsilon_0\chi_e\boldsymbol{E} \label{eq:2} \end{align} という関係を満たすように$\chi_e$を定めます．これを 電気感受率 といいます． 強誘電体がもつ自発分極の定義 先ほど電場外では分極しない常誘電体を定義しましたが，電場がなくても分極起こす誘電体があります．これを 強誘電体 といい，電場がないときの分極を 自発分極 といいます． 電束密度と電気分極の関係 電束密度と電気分極には以下のよう

電場によるエネルギーを求める 電場によるエネルギーを求めましょう。実際，重力によるポテンシャルエネルギーと似た話です。保存力にかかわる話を復習しながら進めていきます。 質点のエネルギー・保存力 質点のエネルギーや保存力に関する話を確認するために重力を考えます。地面を原点として鉛直上向きに$z$軸を取ることにします。このときに質量$m$の質点にはたらく力は$z$軸方向の単位ベクトル$\boldsymbol{e_z}$として， \begin{align*} \boldsymbol{F}=-mg\boldsymbol{e_z} \end{align*} と表されます。ここで，基準を$z=0$に取れば$z=h$でのポテンシャルは， \begin{align*} U&=-\int_{z=0}^h \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{L}\nonumber \\ &=-\int_0^h (-mg) dz\nonumber\\ &=mgh \end{align*} と求められます。ちなみにこの結果は経路によらず始点と終点のみで決定されるのでした。なぜかといえば，重力は 保存力 だからです。 保存力の判定法・ストークスの定理 保存力の判定方法 外力$\boldsymbol{F}$が保存力である必要十分条件は \begin{align} \nabla\times\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0} \label{eq:001} \end{align} ベクトル解析ではストークスの定理 \begin{align*} \int_S (\nabla\times \boldsymbol{F})\cdot \boldsymbol{n}dS=\oint_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} \end{align*} という関係がありました。ただし、$C$は$S$を囲む閉曲線です。もし右辺が0になれば途中経路によらずに仕事の結果が始点終点のみで決定されるということを意味しています。 左辺が0になっていれば右辺の線積分の結果も0ということになるので，

電気双極子で電場と電位を計算する 電気双極子の計算をしてみます．使っているのはクーロンの法則のみなのに近似計算が多くて大変なのでまとめておきます． 電気双極子の場面設定 位置$\boldsymbol{r}^\prime$に電荷$q(\gt 0)$，原点に関して点対称な$-\boldsymbol{r}^\prime$に電荷$-q(\lt 0)$を置いてみます．この状況で位置$\boldsymbol{r}$での電位・電場を計算してみましょう．ただし， $|\boldsymbol{r}|\gg |\boldsymbol{r}^\prime|$ という条件の下で考えてみます。 点電荷が作る電位の式を導出 点電荷$\pm q$が作る電位を求めます。前回の クーロンの法則の導出の記事 の中で、Poisson方程式を解いて得られた電位は、空間の電荷密度を$\rho(\boldsymbol{r})$として、 \begin{align} \phi(\boldsymbol{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon} \int_{\text{全空間}} \dfrac{\rho(\boldsymbol{r^{\prime\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime\prime}}|}d^3\boldsymbol{r^{\prime\prime}} \label{eq:1} \end{align} でした。では、位置$\boldsymbol{r}$での電位$\phi$を計算します．いま、位置$\pm \boldsymbol{r}$に電荷$\pm q$をもつ点電荷があるので、電荷密度はデルタ関数を用いて表現するなら、 \begin{align*} \rho(\boldsymbol{r^{\prime\prime}})=q\delta(\boldsymbol{r^{\prime\prime}}-\boldsymbol{r^\prime})-q\delta(\boldsymbol{r^{\prime\prime}}+\boldsymbol{r^\prime}) \end{align*} と表されます。この式を電位の式\eqref{eq:1}に代入すると, \begin

ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャル ベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$と スカラーポテンシャル $\phi$のことをまとめて 電磁ポテンシャル といいます。これらの導出をしてみます。 マクスウェル方程式を変形する マクスウェル方程式の形の確認 まずはマクスウェル方程式を思い出しましょう。 $$\left\{ \begin{align} \nabla\cdot \boldsymbol{D}&=\rho \label{eq-em9:1}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}&=0\label{eq-em9:2}\\ \nabla\times \boldsymbol{E}&=-\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \label{eq-em9:3}\\ \nabla \times \boldsymbol{H}&=\boldsymbol{j}+\dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\label{eq-em9:4} \end{align}\right.$$ ベクトルポテンシャルと磁束密度の関係を定める この式を変形していきます。まずは、ベクトルポテンシャルを以下の式を満たすように定めます。 \begin{align} \boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A} \label{eq-em9:5} \end{align} 磁束密度の発散が零と確認する 任意のベクトル$\boldsymbol{a}$に対して \begin{align} \nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{a}\right)=0 \label{eq-em9:6} \end{align} という恒等式が成り立ちます。つまり、回転の発散をとれば恒等的に0になるということです。 この式は各成分ごとにばらして計算すれば簡単に証明できます。 さて、ベクトルポテンシャルの話に戻りますが、\eqref{eq-em9:5}式が成り立つときには、上の恒等式\eqref{eq-em9:6}を用いて、 \beg

クーロンの法則をマクスウェル方程式・クーロン力の式から導出 クーロンの法則はクーロン力の式とマクスウェル方程式から導くことができます。このサイトではマクスウェル方程式とクーロン力の式を基本となる方程式としていたので、これらの式のみを用いてクーロンの法則を導出します。 まずこれから導く式を先に紹介します。 クーロンの法則と電場の関係 クーロンの法則 位置$ \boldsymbol{r} $にある点電荷$ q $に、位置$ \boldsymbol{r^\prime}$にある点電荷$ q^\prime $が及ぼす力$ \boldsymbol{F} $は、誘電率$\varepsilon$を用いて、 \begin{align} \boldsymbol{F}=\dfrac{qq^\prime}{4\pi\varepsilon \left|\boldsymbol{r-r^\prime}\right|^2}\dfrac{\boldsymbol{r-r^\prime}}{\left|\boldsymbol{r-r^\prime}\right|} \end{align} と表わされます。 後ろに分けて書いているのは力のはたらく向きの単位ベクトルで、ただ方向を示しているだけです。 電荷が作り出す電場 電場中にある電荷にはたらく力は、クーロン力の式で$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}$として、 \begin{align} \boldsymbol{F}=q\boldsymbol{E} \end{align} というように電場中にある電荷$ q $の電荷にはたらく力をその電荷$ q $で割ったものをさします。ちなみに、電荷が連続的な場合には電場は、 \begin{align} E(\boldsymbol{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{\text{全空間}}\dfrac{\rho(\boldsymbol{r^\prime})}{|\boldsymbol{r-r^\prime}|^2}d^3{\boldsymbol{r^\prime}} \end{align} となります。(これもこの後の導出で分かります)なので、この電場からはたらく力を求める必要が

微分形のマクスウェル方程式 その意味は? 電磁気学ではMaxwell方程式が基本方程式となっています。Maxwell方程式をどう解くか？ということについて、数学的な方法を交えて説明します。 真空中のマクスウェル方程式はどんな形? 真空中のMaxwell方程式 $$\left\{ \begin{align*} \nabla\cdot \boldsymbol{E}&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}&=0\\ \nabla\times \boldsymbol{E}&=-\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\ \nabla \times \boldsymbol{B}&=\mu_0 \boldsymbol{j}+\varepsilon_0 \mu_0\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align*}\right.$$ いま、基本的な物理量として電場$\boldsymbol{E}$と、磁束密度$\boldsymbol{B}$を設定しました。これを $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}$対応 といいます。 ほかの文字について、$\varepsilon_0$は真空中の誘電率、$\mu_0$は真空中の透磁率、$\boldsymbol{j}$は電流密度(単位面積当たりの電流)、$\rho$は電荷密度(空間の単位体積当たりの電荷)を表しています。 マクスウェル方程式とローレンツ力の式 ローレンツ力の式 電場$\boldsymbol{E}$、磁束密度$\boldsymbol{B}$の点に存在する電荷$q$にはたらく力 \begin{align*} \boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}) \end{align*} マクスウェル方程式は電磁気の基礎方程式といいましたが、この式はマクスウェル方程式に含まれていません。ゆえにクーロン力の式と合わせて紹介されることも多いです。 僕の考えですが、