らむねの物理法則

絶対収束、一様収束、各点収束の違い 関数列の収束の話なので少しレベルが高いかもしれません。大学初年次向けの本でもこの収束の定義を知っている前提で書かれた本がたまにあるので，収束の定義を知っていないと正確に書かれた文章がすごく読みにくくなるのでまとめておきます。 収束をなぜ区別するのかといえばやはりその収束先の連続性に影響してくるというのが一番大きいように思います。 収束の違いを考えたい場面 数値解析などでは無限回の操作によってだんだん近似していくみたいな回りくどい近似があります。 というか、そうでなくてもマクローリン展開すれば無限個の項なんてすぐ出てきます。そんな時には収束の話を無視できないのですが、その収束先を議論するときに不連続となる可能性が出てきます。 そこで収束の仕方をしっかり定めておかないとそのあとの扱いでいちいち考えないといけなくなってああ面倒くさいということになるので先に収束の仕方をまとめているわけです。 (1)各点収束 各点収束 区間 $I$ で定義された関数列 ${f_n(x)}$に対して、同じく区間 $I$ 上 で定義される$f(x)$が存在し、各 $x$ (もちろん定義域 $I$ に含まれる点)に対し \begin{align*}\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\end{align*} が成り立つときに$f_n(x)$は$f(x)$に各点収束するといいます.　 ちなみに、これは関数列の極限の収束の話をしています。 つまり、以前 この記事 紹介した$\varepsilon-N$論法で表記できます。 （これは厳密な表記をしただけで、上のことと同じことを言っているだけです。) 具体的応用例として逐次近似法という手法があります。そこで 自然数$n$に対する関数$f_n(x)$ として$n\to\infty$のとき微分方程式の解に収束させるというものです。 (2)一様収束 一様収束 区間 $I$ で定義された関数列 ${f_n(x)}$に対して、同じく区間 $I$ 上 で定義される$f(x)$が存在し、各 $x$ (もちろん定義域 $I$ に含まれる点)に対し(各点収束の仮定と同じ状況で) \begin{a

双曲線関数・逆三角関数の微分 逆関数と双曲線関数について紹介します。 双曲線関数の公式 双曲線関数とは？ 双曲線関数とは以下の式をいいます。 双曲線関数 \begin{align*}\sinh{x}&=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\ \cosh{x}&=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\ \tanh{x}&=\dfrac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\\&=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \end{align*} それぞれ、ハイパボリックサイン、ハイパボリックコサイン、ハイパボリックタンジェントと読みます。 これが双曲線関数と呼ばれるワケは、 \begin{align*}\cosh^{2}{x}-\sinh^{2}{x}&=\left(\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2}\\ &=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}\\ &=1 \end{align*} という関係式が成り立つからです。双曲線の式、という形と非常に似ていますね。普通、$ x = \cos{t} , y= \sin{t}$ などと置いたと思いますがその感覚です。この 双曲線関数は三角関数と非常に似た性質 を持っています。 双曲線関数の微分公式 微分については以下のようになっています。 \begin{align*} \frac{d}{dx}\sinh{x}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\\ &=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ &=\cosh{x}\\ \frac{d}{dx}\cosh{x}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)\\ &=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ &=\sinh{x} \end{a

ε-δ論法,ε-N論法とは？ 高校数学であまり重要視されなかった極限とは何か？という問いに対する答えです。極限を数学的に確実な定義を定めたいところです。 イプシロンデルタ論法による連続関数の極限の定義 $\varepsilon$-$\delta$論法というのは連続関数の極限を厳密に定義するためのものです。極限を計算するときには高校までと同じように計算すればよいのですが... $\varepsilon-\delta$論法 \( \displaystyle \lim_{x\to x_1}f(x)=c \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\) \( \forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0; 0\lt|x-x_1|\lt\delta \)\( \Rightarrow 0\lt|f(x)-f(x_1)|\lt\varepsilon \) これが数学的な厳密な表現です。 論理記号の紹介 $\forall$というのがAnyのAを逆さまにしたもので、 任意の という意味です。 $\exists$はExistsのEを反転したもので、 存在する という意味です。 s.t.という記号が英語の such that の省略で、;は同じ意味です。 数学記号で書かれているのでわかりにくいかもしれませんが、日本語に直すと、 「 任意の$\varepsilon$に対して、$0\lt|x-x_1|\lt\delta$ならば$0\lt|f(x)-f(x_1)|\lt\varepsilon$となるような$\delta$が存在する 」 ということです。 イプシロンエヌ論法による数列の極限の定義 次に説明するのは、$\varepsilon$-$N$論法です。これは数列の収束など、自然数$n$に対する列、離散的な列の極限の定義です。 $\varepsilon-N$論法 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=c \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\) \(\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \gt 0\ ;\