らむねの物理法則

ラプラス変換とは?その公式 今までの記事で、フーリエ変換については書いていましたが、収束条件などでフーリエ変換には制約があります。そこで、ラプラス変換というものを導入します。 (参考: フーリエ変換 ) ラプラス変換の定義とは? ラプラス変換 関数$f(t)(t\geq 0)$のラプラス変換は以下のように定義されます。 \begin{align*} F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt \end{align*} これはフーリエ変換の定義 \begin{align*}F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}dx\end{align*} ととても似ていることがわかるでしょうか。ラプラス変換はフーリエ変換に由来しています。ところで、フーリエ変換はもとの関数に戻すことができました。つまり、 \begin{align*}f(t)&=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega\\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\right)e^{i\omega t}d\omega \end{align*} となるのでした。ラプラス変換にもこのように逆変換ができれば変換として実用的でしょう。関数$f(t)$のフーリエ変換を$F(\omega)$として、 \begin{align*}f(t)&=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}dt\\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\right)e^{i\omega t}d\omega \end{align*} フーリエ変換・ラプラス変換の収束条件 ここで、フーリエ変換ができる条件を思い出してみましょう。つまり、 \begin{al

フーリエ変換とは?その公式は? 周期$2L$の関数$f(x)$の複素型のフーリエ級数展開は以下のように表されたのでした。 \begin{align*}f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i\frac{n\pi}{L}x}\\ c_n=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-i\frac{n\pi}{L}x}dx\end{align*} これらをわけて書かずに合わせて書くと、 \begin{align*}\dfrac{1}{2L}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-L}^{L}f(x')e^{-i\frac{n\pi}{L}x'}dx'\right) e^{i\frac{n\pi}{L}x}\end{align*} ところで、周期関数というのは応用範囲が狭いですから、被周期関数を考えたいわけです。非周期関数に対応するには、周期を無限大に取ればいいでしょう。とりあえず以下のように変形しましょう。 \begin{align*} &\dfrac{1}{2L}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-L}^{L}f(x')e^{-i\frac{n\pi}{L}x'}dx'\right) e^{i\frac{n\pi}{L}x}\\ =&\lim_{L\to\infty}\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{\pi}{L}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-L}^{L}f(x')e^{-i\frac{n\pi}{L}x'}dx'\right) e^{i\frac{n\pi}{L}x} \end{align*} ここで、和の極限を積分に変換できて、 \begin{align*} f(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx'}dx'\right)e^{ikx}dk \end{align*} となります。 フーリエ変換の公式とその意味 ここで、被積

複素フーリエ級数とは? 周期$2L$の関数$f(x)$について、複素数型のフーリエ級数展開は、 \begin{align*} f(x)&=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left(i\dfrac{n\pi}{L}x\right)}\\ c_n&=\displaystyle \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\exp{\left(-i\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\end{align*} となります。(今回も収束の話は無視しています。) オイラーの公式を用いる 複素数型フーリエ級数の導出は簡単です。オイラーの公式 \begin{align*}e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\end{align*} を用いて以下のフーリエ級数展開の式、 \begin{align*}\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos{\dfrac{n\pi}{L}x}+b_n \sin{\dfrac{n\pi}{L}x}\right)\end{align*} を変形します。ここで、三角関数はオイラーの公式を用いて、 \begin{align*}\sin{\theta}=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i},\cos{\theta}=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\end{align*} と表せるので、フーリエ級数の$n\ne0$の部分は、 \begin{align*} \displaystyle &\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\dfrac{e^{i\frac{n\pi}{L}x}+e^{-i\frac{n\pi}{L}x}}{2}-i b_n\dfrac{e^{i\frac{n\pi}{L}x}-e^{-i\frac{n\pi}{L}x}}{2}\right)\\ =&\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{a_n-ib_n}{2}e^{i\frac{n\pi}{L}x}+\dfra

フーリエ正弦級数・余弦級数とは? フーリエ正弦級数の導出・証明 フーリエ正弦級数とは周期$2L$の奇関数$f(x)$に対して、 \begin{align*} f(x)&=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n \sin{\dfrac{n\pi}{L}x}\\ b_n&=\dfrac{2}{L}\displaystyle \int_{0}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\end{align*} ここで、被積分関数が、奇関数×奇関数で偶関数になることに注意してください。$\cos{}$と$f(x)$の積は奇関数×偶関数で奇関数になるので$[-L,L]$で積分すると0になることがわかります。 フーリエ余弦級数の計算 逆にフーリエ余弦級数とは周期$2L$の偶関数$f(x)$に対して、 \begin{align*} f(x)&=\displaystyle \sum_{n=0}a_n \cos{\dfrac{n\pi}{L}x}\\ a_n&=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx \end{align*} これも正弦級数と同様に偶関数か奇関数かを考えればこの係数が容易に導けるでしょう。 フーリエ解析の他の記事 ①フーリエ級数展開 ②フーリエ級数展開を一般周期へ拡張する ③フーリエ正弦級数・フーリエ余弦級数 ④複素フーリエ級数 ⑤フーリエ変換 ⑥ラプラス変換・ブロムウィッチ積分

フーリエ展開を一般周期に拡張できないか？ 前回、周期$2\pi$の関数$f(x)$に対して、フーリエ級数が \begin{align*} f(x)&=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos{nx}+b_n\cos{nx}\right)\\ a_n&=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx\\ b_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx \end{align*} と展開できることを紹介しました(収束性の話は置いておきます)。この展開には大きな制約があります。それは周期が$2\pi$に限られていることです。そこで、一般の周期に拡大することを考えます。関数$f(x)$が周期$2L$だとします。このとき、積分範囲が$[-\pi,\pi]$では周期の一部だけを含んだり、中途半端な範囲の積分になってマズいので、範囲を$[-L,L]$で積分することを考えます。 三角関数の位相ずれを考える ここで、三角関数についても、この積分範囲$[-L,L]$で、ちょうど周期の整数倍になっていないと困ります。というわけで、三角関数の引数の部分を、 $$\dfrac{n\pi }{L}x$$ と、書き換えることにします。つまり、 \begin{align*} f(x)&\approx\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos{\dfrac{n\pi}{L}x}+b_n\sin{\dfrac{n\pi}{L}x}\right)\\ a_n&=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\\ b_n&=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx \end{align*} ということでこれが一般化された周期に対するフーリエ級数

フーリエ級数展開とは? 有名な話ですが...フーリエ変換とは、三角関数による級数に展開するということを目的としています。フーリエ変換につながる基礎の話をします。 フーリエ級数展開の公式 まず、関数$f(x)$が周期$2\pi$のフーリエ級数展開は以下のように書けます。 \begin{align*} f(x)&=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos{nx}+b_n \sin{nx}\right)\\ a_n&=\displaystyle \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx\\ b_n&=\displaystyle \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx \end{align*} ただし、必ずしも収束するとは限らないことに注意してください。 ここで気になるのは係数がなぜこのような形で書けるのかだと思います。そのことについて解説します。 関数の内積と直交性 区間$[-\pi,\pi]$で定義された関数$f(x),g(x)$の内積を以下のように定義することにします。 \begin{align*}\left(f(x),g(x)\right)\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx\end{align*} 関数の内積の定義はその分野などによって定義の仕方が多少異なることがあるのであまり気にしないでください。 ところで、今回は三角関数の話がメインなので三角関数について内積を調べてみましょう。たとえば、自然数$m,n(m\ne n)$について、 \begin{align*} &\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\sin{nx}dx\\&=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\cos{\dfrac{m-n}{2}x}-\cos{\dfrac{m+n}{2}x}\right)dx\\&=0\\ \\ &\displaystyle \in