らむねの物理法則

複素積分の実積分への応用 留数定理を用いる 複素積分は実数積分に応用ができます。今回は、 \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x \end{align*} を計算します。ちなみに、実はこの関数は簡単に \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x=\left. \arctan{x}\right|^{\infty}_{-\infty}=\pi \end{align*} とも計算できますが、あえて複素解析で解いて結果が一致することを確かめます。以下、被積分関数を\(f(x)\)とおいて考えます。関数$f(z)$の特異点は複素数の範囲で、 \begin{align*}z^2+1=0\ \ \ \therefore z=\pm{i}\end{align*} の2点です。次に積分路を考えます。実軸に沿って$-\infty$～$\infty$の複素積分を考えると、これが求めたい積分と同じことになります。よって、この経路を含むように経路を定めたいです。また、コーシーの積分定理をはじめとして、周回積分についての計算の定理を使いたいので、周回積分を考えましょう。では、例えば、以下のような経路を反時計回りにまわる経路$C$を考えましょう。 最後に$R\to\infty$とします。 \begin{align*} C_1&:-R\leq \mathrm{Re}\ z\leq R,\mathrm{Im}\ z=0\\ C_2&:z=Re^{i\theta}(0\leq \theta \leq \pi ) \end{align*} とすれば、 \begin{align*}\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\int_{C_1} f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_2} f(z)\mathrm{d}z\end{align*} まず左辺について、閉路$C$内に含まれる特異点は点$i$のみで、それ以外の$C$の内部分では正則なので、留数定理より、 \begin{align*}\oint_C f(z)\mathrm{d}z=2\pi

留数の求め方とは,その公式 関数$f(z)$の特異点$\alpha$が第$n$位の極のとき、留数は、 \begin{align*}\mathrm{Res}[f,\alpha]=\displaystyle \dfrac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to\alpha}\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}z^{n-1}}\left\{(z-\alpha)^n f(z)\right\}\end{align*} という公式で求められます。点$\alpha$が第$n$位の極のとき、ローラン級数展開は \begin{align*} f(z)&=\sum_{k=-n}^\infty c_k(z-\alpha)^k\\ &=\dfrac{c_{-n}}{(z-\alpha)^n}+\dfrac{c_{-(n-1)}}{(z-\alpha)^{n-1}}+\cdots \end{align*} ここで、辺々に$(z-\alpha)^n$をかけると、 \begin{align*} (z-\alpha)^n f(z)=c_{-n}+c_{-(n-1)}(z-\alpha)+\cdots+c_{-1}(z-\alpha)^{n-1}+\cdots \end{align*} ところで、今求めたい留数というのは$c_{-1}$のことです。この辺々を微分すると、 \begin{align*} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left\{(z-\alpha)^nf(z)\right\}=c_{-(n-1)}+\cdots+(n-1)c_{-1}(z-\alpha)^{n-2}+\cdots \end{align*} あと、$n-2$回微分すると、 \begin{align*}\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}z^{n-1}}\left\{(z-\alpha)^nf(z)\right\}=(n-1)!c_{-1}+\dfrac{n!}{1!}c_0(z-\alpha)+\cdots\end{align*} ここで、$z\to\alpha$とすれば、 \begin{align*}\lim_{z\to\alpha}\dfrac{\mathrm

留数・留数定理とは 関数$f(z)$をある領域$D$で点$\alpha$まわりにローラン級数展開したときに以下のようにかけるとします。 \begin{align*}f(z)=\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \dfrac{c_{-k}}{(z-\alpha)^k}+\sum_{k=0}^\infty c_k (z-\alpha)^k\end{align*} このとき、$(z-\alpha)^{-1}$の係数$c_{-1}$のことを留数といいます。なぜわざわざこのように名前がついているかというと、複素積分が \begin{align*}\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=2\pi i c_{-1}\end{align*} と表せるからです。(ただし、$C$は点$\alpha$を囲む領域$D$内の経路とします。)証明は簡単です。ローラン級数について、$z=Re^{i\theta}+\alpha$として複素積分を直接計算すると、 \begin{align*} &\int_0^{2\pi} \left(\dfrac{c_{-1}}{Re^{i\theta}}+\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \dfrac{c_{-k}}{R^k e^{ik\theta}}+\sum_{k=0}^\infty c_k R^k e^{ik\theta}\right)iRe^{i\theta}d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} \left(ic_{-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \dfrac{ic_{-k}}{R^{k-1} e^{i(k-1)\theta}}+\sum_{k=0}^\infty ic_k R^{k+1} e^{i(k+1)\theta}\right)d\theta \end{align*} ここで、$e^{in\theta}=\cos{n\theta}+i \sin{n\theta}(n\in \mathbb{N})$は$0$から$2\pi$で積分すれば0になります。さらに、 }\begin{align*}e^{-in\theta}&=\cos{(-n\theta)}+i \sin{(-n\theta

ローラン級数展開の計算のやり方 点$\alpha$まわりの関数$f(z)$のローラン級数展開の一般形は以下の形で表されます。 \begin{align*}f(z)=\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \dfrac{c_{-k}}{(z-\alpha)^k}+\sum_{k=0}^\infty c_k (z-\alpha)^k\end{align*} $c_k(k \in\mathbb{Z})$は係数です。テイラー展開の式と見比べると、$z-\alpha$の項が分母まで来ています。(指数がマイナス方向まで拡張されています。) では、どうやってローラン級数展開を求めるのかということを解説します。関数$f(z)$が以下の形で与えられたとします。 \begin{align*}f(z)=\dfrac{g(z)}{(z-\alpha)^n}\end{align*} ただし、一旦、関数$g(z)$は複素数平面全体で正則だとします。複素数平面全体で正則な関数なので、点$\alpha$まわりでテイラー展開してみましょう。 \begin{align*}g(z)=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{g^{(k)}(z)}{k!}(z-\alpha)^k\end{align*} よって、 \begin{align*}f(z)=\displaystyle\dfrac{g(z)}{(z-\alpha)^n}=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{g^{(k)}(z)}{k!}(z-\alpha)^{k-n}\end{align*} となります。問題は、点$\alpha$以外に特異点があるときです。特異点があるときは、領域によってローラン級数の取り方が変わります。これ以上は文字でやるとわかりにくいので、具体例を使います。 ローラン級数展開の例題と解答 以下の関数を原点まわりにローラン展開することを考えます。 \begin{align*}f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}\end{align*} 方針としては無限等比級数和の公式、初項$a$、公比$|r|\lt 1$に対して、 \begin{align*}\dfrac{a}{1-r}=a+ar+ar^2+\

度々現れる形なので覚えておいて損はないと思います。 コーシーの積分公式の証明と使い方 コーシーの積分公式 単純閉曲線$C$を考えます。$C$とその内部で正則な関数$f(x)$、$C$の内部の点$\alpha$について、 \begin{align*}\displaystyle \oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-\alpha}dz=2\pi if(\alpha)\end{align*} が成り立ちます。 特に、$f(z)=1$とした \begin{align*}\displaystyle \int_{C}\dfrac{1}{z-\alpha}dz=2\pi i\end{align*} をよく使います。 コーシーの積分公式の証明 まずは以下のような形に変形します。 \begin{align*}\displaystyle \oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-\alpha}=\oint_{C} \dfrac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha}dz+\oint_{C}\dfrac{f(\alpha)}{z-\alpha}dz\cdots(*)\end{align*} 第二項について、コーシーの積分定理より、$R\geq 0$に対して、$z=Re^{i\theta}+\alpha\ (0\leq \theta\leq 2\pi)$と積分経路が変更できます。$dz=iRe^{i\theta}d\theta$なので、 \begin{align*} \displaystyle\oint_{C}\dfrac{f(\alpha)}{z-\alpha}dz&=f(\alpha)\int_{0}^{2\pi}\dfrac{iRe^{i\theta}}{\left(Re^{i\theta}+\alpha\right)-\alpha}d\theta\\ &=if(\alpha)\int_{0}^{2\pi}d\theta\\ &=2\pi if(\alpha) \end{align*} となります。つまり、(*)式の第1項が0になることを示せばよいことになります。ここで、コーシーの積分定理から先ほどと同様に積分経路を変更することを考えます。 \begin{align*}z=\

コーシーの積分定理の証明と応用 今回複素解析で最も重要な概念、 複素積分、コーシーの積分定理 を扱います。 複素積分(複素線積分)の計算方法 複素平面を考えます。この平面上の閉曲線$C$について、$z$がパラメータ$\theta$で表されているとき、 \begin{align*}\int_{C}f(z)dz=\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} f(z(\theta))\dfrac{dz}{d\theta}d\theta\end{align*} と計算できます。ここで、インテグラルに〇をつけると、閉曲線に沿って一周分線積分するというしるしになります。 例えば、 \begin{align*}f(z)=\dfrac{1}{z}\end{align*} を経路$|z|=1$に沿って積分することを考えます。$|z|=1$というのは \begin{align*}z=e^{i\theta}\ (0\leq \theta \lt 2\pi)\end{align*} と表せるので、 \begin{align*}\dfrac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}\end{align*} となり、複素積分(複素線積分)は、 \begin{align*}\displaystyle \oint_{C}\dfrac{1}{z}dz=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{e^{i\theta}}ie^{i\theta}d\theta=i\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi i\end{align*} となります。 グリーンの定理による証明 曲線$C$とその内部で正則な複素関数$f(z)$ を考えます。このとき、 \begin{align*}\displaystyle \oint_{C}f(z)dz=0\end{align*} が成り立ちます。これを証明してみます 複素関数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\ $($u,v$は実数値関数)$が曲線$C$とその内部で正則だとします。$dz=dx+idy$と表せるので、 \begin{align*}\displaystyle \oint_{C}f(z)dz=\oint_{C}\{u(x,y)+iv(x,y)\}(dx

コーシーリーマンの関係式とは？その導出 正則とは？ 正則について紹介しておきます。 正則とは複素数の意味で微分可能、つまり、多変数関数の極限と同じことが言えます。 多変数関数の極限は、 こちら の記事を参考にしてください。 以下、$z$を \begin{align*}z=x+iy(x,y\in\mathbb{R})\end{align*} とします。(複素数平面上で実軸と虚軸の話を考えれば自然ですね) また、複素関数$f(z)$を実数値関数$u(x,y),v(x,y)$を用いて、 \begin{align*}f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\end{align*} と、定義します。(左辺と右辺で引数が異なるのは不自然ですがとりあえずこうおきます) コーシー・リーマンの方程式を証明する $f(z)$が微分可能ならば \begin{align*}\left\{\begin{array}{p}u_{x}=v_{y}\\ u_{y}=-v_{x}\end{array}\right.\end{align*} が成り立ちます。これを コーシー・リーマンの方程式 といいます。 では、この証明をします. $f(z)が点z_{0}$で微分可能とは... \begin{align*}\displaystyle \lim_{z\to z_{0}}\dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\end{align*} が存在することをいいます。 極限が存在するとは... 近づき方によらずある値にちかづくこと をいいます。 では、近づけ方によらないので、 (1)$y=y_{0}$で$y$を固定して$x$を動かす,  (2)$x=x_{0}$で$x$を固定して$y$を動かす. この二つの場合を考えます。 (1) $z-z_{0}=x-x_{0}$のとき \begin{align*} &\lim_{z\to z_{0}}\dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\\ =&\displaystyle \lim_{x\to x_{0}}\dfrac{\{u(x,y_{0})+iv(x,y_{0})\}-\{u(x_{0},y_{0})+iv(x_{0},y_{0})\}