らむねの物理法則

ルベーグ積分とは?リーマン積分との違いとディリクレ関数との関係 ルベーグ積分というのは名前だけは有名ですね。 よく言われる話として、ルベーグ積分は$y$軸に沿っての積分といわれています。 個人的にはあまり$y$軸に沿ってとか言うことは考えていませんがね笑 どういうふうに計算するのか、ということについて紹介します。 前回まで測度というものを紹介してきました。 なんでこんな変な話をしてきたかということは今回でわかります。 リーマン積分では関数グラフの下の高さを$x$軸方向の微小長さの積(いわゆる $f(x) dx$ですね)をとってこれを足し合わせるのでした。 ではこの計算を$y$軸でくぎってすることを考えます. 具体的には$f(x)$の値を返す$x$の集合の長さを$\mu$として、$\mu\{f(x)\}$をすべての$f(x)$について足し合わせます。 ルベーグ積分の具体例 ではディリクレ関数の積分を考えます。 ディリクレ関数とは、$x\in[0,1]$に対して、 \begin{align*}f(x)=\left\{\begin{array}{p}1\ \ (x\in \mathbb{Q})\\ 0\ \ (x\notin \mathbb{Q}) \end{array}\right.\end{align*} でした。では,$0\leq x\leq 1$でこの関数をルベーグ積分します。 先ほどの説明から...ルベーグ積分の値は, $x\in[0,1]$に対して、 \begin{align*}1\times\mu(\mathbb{Q}\cap [0,1])+0\times \mu(\mathbb{Q}^{c}\cap [0,1])\end{align*} このように計算できます.　$\mu()$は( )内の集合の大きさ(ルベーグ測度による)です。 では、あとはこのそれぞれの$\mu$の値を求めましょう。 ルベーグ外測度の定義は $x\in[0,1]$に対して、 \begin{align*}\mu^{*}(A)=\displaystyle \inf{\sum_{n=1}|I_{n}|}\end{align*} でした。 集合の濃度を用いた測度の評価 ここで集合論の話に戻りますが、有理数と無理数はどちらが

ルベーグ外測度・内測度の定義とは? ルベーグ積分の基礎になる概念です。 リーマン積分、ジョルダン測度の欠点を補うための表現でありつつ、一般に通じるような定義式が必要になります。 途中は定義を述べるだけにして最後に補足を加えています。 まず用語を一つ紹介します。 被覆とは?新しい測度の考え 集合$A$を考えます。集合$A$を集合列${I_{n}}(n\in \mathbb{N})$が 被覆する とは \begin{align*}A\subset \displaystyle \cup_{n\leq 1}I_{n}\end{align*} が成り立つことを言います。 これはなにも難しいことは言っていません。 $I_{n}$をすべて集めれば,$A$を部分集合に含むようになる、これを被覆するといいます。 ルベーグ可測条件とは? このとき、ルベーグ外測度を \begin{align*}\mu^{*}(A)=\inf\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|I_{n}|\end{align*} として定義します.  右辺の絶対値のような記号は大きさを表しています、$A$を部分集合に含むような集合の大きさをはかれば、当然$A$の大きさよりも大きくなります。 ここでルベーグ可測の条件は \begin{align*}\mu^{*}(A)=\mu^{*}(A\cap B)+\mu^{*}(A\cap B^{c})\end{align*} が成り立つことです。 ベン図を書いてもらえば明らかじゃないの？って思うかもしれませんがあくまで測度なので、必ずしもその測度と大きさは一致しません。 直感的に言うと、それぞれの大きさがはっきり求まれば(測度がうまく取れれば)右辺の測度が確定、つまり左辺も確定します。 今回このような可測の定義も紹介しましたが、実はこの概念あまり役に立たないです。 なぜかということを直感的に説明すると、右辺がいい感じに求められるなら普通は左辺も直接求められるっしょ(笑) という感じでしょうか。 通常の連続関数からの推測 たとえばなんですが、数列$\{a_{n}\}$が2に収束するのを示したいとき、直接2に収束することを言うのはしんどいので、はさみうちの原理を使って \begi

測度の定義・外測度と内測度の持つ意味 外測度、内測度についてふと考えていたらいいイメージを思いついたのでここに残しておきます. なんか外測度、内測度って数式での細かい定義ばかりでうんざりしますよね. だから、日常生活の中でイメージを立ててみます. たとえば,トイレットペーパーの芯の１周の長さはいくつかなーって考えます じゃあたとえば,メジャーで測ることにしましょう. まあ普通の人なら多分外から巻き付けますよね。 こんなふうに（黒がトイレットペーパーの芯、赤がメジャーだと考えてください） でもこれってホントに芯の周の長さなん？絶対それより大きいやろ！！！ って突っ込みたくなります。 だから今度は内側から計測してみます。 (黒がトイレットペーパーの芯、青が内側から測るメジャーだと考えてください) でも、これ、絶対芯の周の長さより小さいやん！ わからへんやん！！！！！ って突っ込みたくなります. でもせっかく調べたのでこれらを使って,不等式をつくって評価してみることにしました はさみうちの原理で極限を求める 外からの測定値は外測度、内からの測定値は内測度と呼ぶことにして、 それぞれ,$\overline{m},\underline{m}$で表すことにします. 真の芯の一周の長さ$m$は $\underline{m}\leq m\leq \overline{m}$ となります. なんやねん測定値わからへんやん！！！！ っておもったそこのあなた！！！！ もし, $\overline{m}=\underline{m}$ だったら？？？ $m$はもう確定しますね！ 実際トイレットペーパーの芯の紙が十分薄ければメジャーで測ったぐらいでは違いは出なくなるでしょう！ だからみなさんは測りやすい外から測りがちなんですけど、その原理はこういうことです。 測度論の他の記事 ① ディリクレ関数 ②ジョルダン測度とは？ ③ 測度のイメージ・測定原理 ④ ルベーグ外測度 ⑤ ルベーグ積分・ディリクレ関数の積分

ジョルダン測度から始めてディリクレ関数がリーマン積分不可能であることまで説明します。 測度とは。ジョルダン測度へ たとえば、面積とは何ぞや？ということを正確に定義をしよう!ということです. まずリーマン積分の理解が前提です。 リーマン積分を用いる ではまず、二次元ユークリッド空間中の集合$A$を考えます. ここで、被リーマン積分関数として以下のような関数を考えます. \begin{align*}1_{A}(x,y)=\left\{\begin{array}{x}1((x,y)\in A)\\ 0((x,y)\notin A)\end{array}\right.\end{align*} これを$A$の 定義関数 、もしくは 特性関数 と言ったりします。 特性関数という時にはギリシャ文字のカイ $\chi$を使うこともしばしば. たとえば、この関数を$A$より大きい集合、つまり$A$を部分集合として含む集合全体でリーマン積分すれば$A$の面積が出てきます。 たとえば、もう全空間で積分してみるとか。 \begin{align*}\displaystyle \iint _{\mathbb{R}^{2}}1_{A}(x,y)dxdy\end{align*} ここで、リーマン積分の特徴について復習なのですが、リーマン積分可能ということは、各分割区間の上限、下限とで不等式をつくり、共通の値に収束することを示して、はさみうちの原理から面積が確定することを示すのでした. (言ってることがわからなければリーマン積分について確認してください) 上限の和を$S$, 下限の和を$s$とします. \begin{align*}D_{ij}:x_{i-1}\leq x\leq x_{i}, y_{j-1}\leq y\leq y_{j}\end{align*} というように区間を設定して、リーマン積分について$1_{A}$についての$S$は \begin{align*}\displaystyle S(A)=\overline{m_{J}}=\lim_{\Delta\to 0}\sum_{\mathbb{R}^{2}}\sup_{(x,y)\in D_{ij}} 1_{A}(x,y)\end{align*} となり、この$\overline{m_{J

ルベーグ積分につながるディリクレ関数の定義 ディリクレ関数とは $x\in[0,1]$に対して、 \begin{align*}f(x)=\left\{\begin{array}{p}1\ \ (x\in \mathbb{Q})\\ 0\ \ (x\notin \mathbb{Q}) \end{array}\right.\end{align*} ちなみに、$\mathbb{Q}$は有理数全体の集合です。 つまり、$x$が有理数なら1, $x$が無理数なら0です。 本当にそんなの存在する？ってなるけど実は存在します。 整数$m,k$に対して \begin{align*}\displaystyle \lim_{m\to\infty}\lim_{k\to\infty}\cos^{2k}{(m!\pi x)}\end{align*} これです。え、なんで？って思われそうなので説明しますね。 まず、自然数$n$に対して、$\cos{n\pi}=\pm{1}$となります。 つまり、$m!x$が整数となればこの極限は1になるわけです。 $m\to\inftyで、m!x$が整数となる条件は何でしょうか？ それが、「 $x$が有理数であること 」です。 有理数とは...整数の分数（整数÷整数）であらわされる数ですね。（もちろん分母は0以外です） ここで、$m!はm$以下のすべての自然数を因数に持ちますね。 つまり、$m$をとてつもなく大きくすれば、$x$が有理数なら、$x$の分母が$m$以下、つまり、$x$の分母が$m!$と約分できます。 つまり、$m!x$は整数の積になります。つまり、整数です。 よって、極限は$x$が有理数のときに１です。 では、「 $x$が無理数のとき$m!x$は必ず整数にならない 」ということになります。 たとえば、$\sqrt{2}$はどうでしょう？ これを整数倍して整数にできますか？？これは無理な話です(笑) 無限桁の数を何倍しても整数になるわけないですね。 ディリクレ関数の性質・実数全体で不連続とは ・ ディリクレ関数はすべての実数に対して不連続 これは$\varepsilon -\delta$論法を使おうとすると、どうしようもできないのです。。。不連続です。$\varepsilon