場の量子論 ベクトル場・マクスウェル方程式③ 電磁テンソル
電磁テンソルの導出と相対論的な意味
連続の式を導出する
前回までではベクトルポテンシャルを演算子化して適当な係数をつけることで割とまとまった議論ができていました。ただ前回は真空を仮定したことで簡単になっただけで現実には空間には電荷が存在するわけです。
今回は真空というのを仮定せずに話を進めてみます。まずは、以下のマクスウェル方程式に含まれる2式を考えます。
\begin{align}
\nabla\cdot \boldsymbol{E}&=\dfrac{\rho}{c}\label{eq:1}\\
\nabla\times \boldsymbol{B}&=\mu\boldsymbol{j}+\mu\varepsilon\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\label{eq:2}
\end{align}
\eqref{eq:1}式の辺々を時間微分してみます。ただし、座標微分との順番は入れ替え可能なので入れ替えてみます。
\begin{align}
\nabla\cdot \dfrac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}&=\dfrac{1}{\varepsilon}\dfrac{\partial\rho}{\partial t} \label{eq:3}
\end{align}
次に\eqref{eq:2}式の辺々の発散を取ることにすると、
\begin{align}
\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{B}\right)&=\mu\nabla\cdot\boldsymbol{j}+\mu\varepsilon\nabla\cdot\dfrac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}
\end{align}
さてさて、ここで公式
\begin{align}
\nabla\cdot\left(\nabla\times \boldsymbol{A}\right)=0
\end{align}
を用いると、
\begin{align}
\nabla\cdot\boldsymbol{j}+\varepsilon\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}=0
\end{align}
となります。\eqref{eq:3}式を用いれば、
\begin{align}
\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}=0 \label{eq:7}
\end{align}
これはまさに連続の式ですね。
4元荷電ベクトルを使って相対論的に流れの保存を示す
4元荷電ベクトルという量を以下のように定義します。\begin{align}
j^\mu=\left(\rho c,\boldsymbol{j}\right)
\end{align}
また、4元の微分演算子を以下のように定義します。
\begin{align}
\partial_\mu=\left(\dfrac{1}{c},\nabla\right)
\end{align}
これらを用いて、連続の式\eqref{eq:7}の左辺は
\begin{align}
\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}&=\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial(\rho c)}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}\nonumber \\
&=\partial_\mu j^\mu
\end{align}
と変形できます。つまり、
\begin{align}
\partial_\mu j^\mu=0
\end{align}
と簡単にまとめることができます。
電磁テンソルを定義する
この記事では以下のように4元ベクトルポテンシャルを定義します。\begin{align}
A^\mu=\left(\dfrac{\phi}{c},\boldsymbol{A}\right)
\end{align}
いきなりですが、以下のような量を定義します。
\begin{align}
F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu \label{eq:13}
\end{align}
これを電磁テンソルといいます。2階のテンソル(添え字が2個)なので、まるで行列のように表記することができます。
\eqref{eq:13}式は$\mu=\nu$のときには明らかに0になりそうです。つまり、まずは対角成分は0です。さらに、
\begin{align}
F^{\nu\mu}
&=\partial^\nu A^\mu-\partial^\mu A^\nu\nonumber\\
&=-\left(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\right)\nonumber\\
&=-F^{\mu\nu}
\end{align}
となるので、実は上三角部分を求めればあとは自動的に決定できます。
電磁テンソルの成分表示を求めてみる
$4\times 4$の16成分から対角成分4つを除いて、さらにその半分、合計で6成分を求めればいいことになります。電磁場と電磁ポテンシャルとの関係
$A^0=\dfrac{\phi}{c}$なので、電磁場は、\begin{align}
\boldsymbol{B}&=\nabla\times \boldsymbol{A}\\
\boldsymbol{E}&=-\dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-c\nabla A^0
\end{align}
これを利用して計算します。
\begin{align}
F^{01}&=\partial^0 A^1-\partial^1 A^0\nonumber \\
&=\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial A_x}{\partial t}+\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\phi}{c}\nonumber\\
&=-\dfrac{1}{c}\left\{-\dfrac{\partial A_x}{\partial t}-c\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\phi}{c}\right)\right\} \nonumber \\
&=-\dfrac{1}{c}\left(-\dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-c\nabla A^0\right)_{x成分}\nonumber \\
&=\left(-\dfrac{\boldsymbol{E}}{c}\right)_{x成分}
\end{align}
他の計算もこのように計算できます。$\boldsymbol{E}=\left(E_x,E_y,E_z\right)$,$\boldsymbol{B}=\left(B_x,B_y,B_z\right)$だとして、
\begin{align}
F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}
0 & -\dfrac{E_x}{c} & -\dfrac{E_y}{c} & -\dfrac{E_z}{c}\\
\dfrac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y\\
\dfrac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x\\
\dfrac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
実はこの表現を使えばすごく楽にマクスウェル方程式を書きなおすことができます。$c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$を用いて、
\begin{align}
\partial_\mu F^{\mu 0}&=\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{\partial E_x}{\partial x}+\dfrac{\partial E_y}{\partial y}+\dfrac{\partial E_z}{\partial z}\right)\nonumber \\
&=\dfrac{1}{c}\nabla \cdot \boldsymbol{E}\nonumber \\
&=\dfrac{\mu c^2}{c}{\rho}\nonumber \\
&=\mu \rho c\nonumber \\
&=\mu j^0
\end{align}
他の成分は、
\begin{align}
\partial_\mu F^{\mu 1}&=-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial E_x}{\partial t}+\dfrac{\partial B_z}{\partial y}-\dfrac{\partial B_y}{\partial z}\nonumber \\
&=-\mu\varepsilon \dfrac{\partial E_x}{\partial t}+\left(\nabla\times \boldsymbol{B}\right)_{x成分}\nonumber \\
&=\left(-\mu\varepsilon \dfrac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}+\nabla\times \boldsymbol{B}\right)_{x成分} \label{eq:20}
\end{align}
\eqref{eq:20}式はマクスウェル方程式
\begin{align}
\nabla\times \boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{j}+\mu\varepsilon\dfrac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}
\end{align}
を変形して、
\begin{align}
-\mu\varepsilon \dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}+\nabla\times \boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{j}
\end{align}
\eqref{eq:20}式はこの$x$成分と一致しています。つまり、
\begin{align}
\partial_\mu F^{\mu 1}=j^1
\end{align}
となります。他の$\nu=2,3$についても同様に計算できて、
\begin{align}
\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu j^\nu \label{eq:24}
\end{align}
とできます。これが新たなマクスウェル方程式です。