量子力学 ①補足① 連続の式との関係
連続の式から確率流を考える
波動関数の絶対値の二乗が確率密度関数だと紹介しましたが、これはなぜそう言えるのでしょうか?ということについて少し考えてみます。連続の式とは？
連続の式
\begin{align}
\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \boldsymbol{j}=0 \label{\eq-quantum101:1}
\end{align}
という式が成り立ちます。抽象的ですが、$\rho$が密度、$\boldsymbol{j}$は単位面積当たりの流れです。
シュレディンガー方程式からの確率密度の導出
シュレディンガー方程式は以下のようにあらわされました。\begin{align}
i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial t}=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V\right)\psi \label{\eq-quantum101:2}
\end{align}
この辺々に左から波動関数の複素共役$\psi^*$をかけて、
\begin{align}
i\hbar\psi^*\dfrac{\partial \psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\psi^*\nabla^2\psi+V\psi^*\psi \label{\eq-quantum101:3}
\end{align}
いま、時間と空間の微分項は演算子なので順番の入れ替えはしませんが、ポテンシャルに関しては演算子ではないので順番を入れ替えることが可能、ということを用いました。
次に、\eqref{\eq-quantum101:1}の辺々の複素共役を取ってみます。ただし、ポテンシャルは物理量なので複素共役を取ってもそのままで、
\begin{align*}
-i\hbar\dfrac{\partial \psi^*}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^*+V\psi^*
\end{align*}
両辺の右から$\psi$をかけて、
\begin{align}
-i\hbar\dfrac{\partial\psi^*}{\partial t}\psi=-\dfrac{\hbar^2}{2m}(\nabla^2\psi^*)\psi+V\psi^*\psi \label{\eq-quantum101:4}
\end{align}
\eqref{\eq-quantum101:3}から\eqref{\eq-quantum101:4}を辺々引くと、ポテンシャル部分は消えて、
\begin{align}
i\hbar \left(\dfrac{\partial \psi^*}{\partial t}\psi+\psi^*\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)
=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\left\{\psi^*\nabla^2\psi-(\nabla^2 \psi^*)\psi\right\} \label{\eq-quantum101:5}
\end{align}
まず、\eqref{\eq-quantum101:5}の左辺は積の微分法を考えれば、
\begin{align*}
\dfrac{\partial|\psi|^2}{\partial t}&=\dfrac{\partial(\psi^*\psi)}{\partial t} \\
&=\dfrac{\partial \psi^*}{\partial t}\psi+\psi^*\dfrac{\partial \psi}{\partial t}
\end{align*}
また、\eqref{\eq-quantum101:5}の右辺のナブラを含む項に関しては、連続の式を考えると、$\nabla\cdot f$の形にしたいところです。以下の式だったら\eqref{\eq-quantum101:5}の右辺にもどることがわかるでしょう。
\begin{align*}
\nabla\cdot \left\{\psi^*\nabla \psi-(\nabla \psi^*)\psi\right\}
&=\left\{\nabla\psi^*\cdot \nabla\psi+\psi^* \nabla^2\psi\right\}-\left\{(\nabla^2\psi^*)\psi+\nabla\psi^* \cdot \nabla \psi\right\} \\
&=\psi^* \nabla^2\psi -(\nabla^2\psi^*)\psi
\end{align*}
というわけで、\eqref{\eq-quantum101:5}は、
\begin{align*}
i\hbar\dfrac{\partial|\psi|^2}{\partial t}+\nabla\cdot\dfrac{\hbar^2}{2m}\left\{\psi^*\nabla\psi-(\nabla\psi^*)\psi\right\}=0
\end{align*}
さて、確率密度についてシュレディンガー方程式は、$\psi$が解ならその定数倍も解ですが、$|\psi|^2$を全範囲で積分して1になる、つまり、$\rho=|\psi|^2$となるように設定していました。そう考えると、第一項の係数は邪魔ですね。
\begin{align*}
\dfrac{\partial |\psi|^2}{\partial t}+\nabla\cdot\dfrac{\hbar}{2im}\left\{\psi^*\nabla\psi-(\nabla\psi^*)\psi\right\}=0
\end{align*}
もっと言うと、後半の部分(確率流になる部分)に関して、これは$(\psi^*\nabla\psi)^*=\psi\nabla\psi^*$なので、
\begin{align*}
\dfrac{\hbar}{2im}\left\{\psi^*\nabla\psi-(\nabla\psi^*)\psi\right\}
&=\dfrac{\hbar}{m}\text{Im}{(\psi^*\nabla\psi)}
\end{align*}
これで連続の式と形がそろいました。
\begin{align*}
\rho&=|\psi|^2 \\
\boldsymbol{j}&=\dfrac{\hbar}{2im}\left\{\psi^*\nabla\psi-(\nabla\psi^*)\psi\right\}=\dfrac{\hbar}{m}\text{Im}({\psi^*\nabla\psi})
\end{align*}
となります。これが確率流と確率密度の式です。