場の量子論⑨ ディラック方程式のラグランジアン
ディラック場のラグランジアンを確かめる
ディラック場のラグランジアンの式が正しいことを確かめましょう。、オイラー・ラグランジュ方程式を用いる
ディラック方程式のラグランジアンは以下の通りです。\begin{align*}
\mathcal{L}
&=\bar{\psi}(i\hbar c\gamma^\mu \partial_\mu-mc^2)\psi \\
&=i\hbar c\bar{\psi}\gamma^\mu \partial_\mu \psi-mc^2\bar{\psi}\psi
\end{align*}
ただし、$\bar{\psi}=\psi^\dagger\gamma^0$はディラック共役です。この式をEuler-Lagrange方程式
\begin{align*}
\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}-\partial_\mu\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \psi)}=0
\end{align*}
に代入しましょう。第一項について、
\begin{align*}
\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}
&=-mc^2\bar{\psi}
\end{align*}
第二項について、
\begin{align*}
\partial_\mu \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \psi)}
&=i\hbar c\partial_\mu\bar{\psi}\gamma^\mu
\end{align*}
ここでは$\gamma^\mu$は定数とみなしました。というわけでEuler-Lagrange方程式は以下のようになります。
\begin{align*}
-i\hbar c\bar{\psi}\gamma^\mu-mc^2\bar{\psi}=0
\end{align*}
第一項について、$\bar{\psi}=\psi^\dagger \gamma^0$を用いて変形したうえで、右から$\gamma^0$をかけます。
\begin{align}
-i\hbar c\partial_\mu\psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0-mc^2\psi^\dagger\gamma^0\gamma^0=0 \label{eq:1}
\end{align}
ガンマ行列の公式
ディラック方程式の導出の記事でガンマ関数を定義するときに以下のような関係を課しました。\begin{align*}
\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2\eta^{\mu\nu}
\end{align*}
つまり、$\mu=\nu=0$とすれば、
\begin{align*}
(\gamma^0)^2=1
\end{align*}
が成り立ちます。また、$\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0$は、$\mu=0$のときは上の式をもちいて、$\gamma^0$になります。$\mu\ne0$のときは、$\gamma^0\gamma^j=$$-\gamma^j\gamma^0$となるので、
\begin{align*}
\gamma^0\gamma^j\gamma^0
&=-\gamma^j\gamma^0\gamma^0 \\
&=-\gamma^j
\end{align*}
実はディラック表示を用いてすべて計算すれば$(\gamma^j)^\dagger=-\gamma^j$となるので、
\begin{align*}
(\gamma^0\gamma^j\gamma^0)^\dagger=\gamma^j
\end{align*}
となるので、全体としては、
\begin{align*}
(\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0)^\dagger=\gamma^\mu
\end{align*}
となります。
オイラー・ラグランジュ方程式からディラック方程式を導く
\eqref{eq:1}の辺々の$\dagger$をとってみましょう。ガンマ行列は行列なので順番が入れ替わります。\begin{align*}
i\hbar c(\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0)\partial_\mu\psi-mc^2(\gamma^0)^2\psi=0
\end{align*}
先ほどから導いているガンマ行列の公式から
\begin{align*}
(i\hbar c\gamma^\mu\partial_\mu-mc^2)\psi=0
\end{align*}
となります。これでディラック方程式が導かれました。