らむねの物理法則

マクスウェル 方程式と 場の関係 とは? マクスウェル方程式は場の量子論では ベクトル場 をあらわします。この記事をご覧の皆さんはマクスウェル方程式はご存じだと思いますが、そのマクスウェル方程式を変形した式を用います。 電磁ポテンシャル の記事を参考にして、マクスウェル方程式はゲージを指定しなければ、以下のように変形できます。 \begin{align} \dfrac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)+\nabla^2\phi&=-\dfrac{\rho}{\varepsilon}\label{eq:1}\\ \left(\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right)\boldsymbol{A}+\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}+\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \phi}{\partial t}\right)&=\mu\boldsymbol{j}\label{eq:6} \end{align} ここで、クーロンゲージ \begin{align} \nabla\cdot \boldsymbol{A}=0 \label{eq:3} \end{align} を導入すると、 \begin{align} \nabla^2\phi&=-\dfrac{\rho}{\varepsilon} \label{eq:4}\\ \left(\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right)\boldsymbol{A}+\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial(\nabla\phi)}{\partial t}&=\mu\boldsymbol{j} \label{eq:5} \end{align} ここで、\eqref{eq:5}式は少し複雑すぎてこのままではどうしようもないので、少しだけ仮定を加えて簡単な状況で解くことにします。 真空状態を仮定する 真空状態を仮定し

クラインゴルドン方程式の導出と一般解 スカラー場の記述に用いるKlein-Gordon方程式を紹介します。 相対論的な自由場のエネルギーを用いる 自由場(ポテンシャルが0)となる場合にはエネルギーというのは \begin{align*} E^2=(mc^2)^2+(\boldsymbol{p}c)^2 \end{align*} とできます。この辺々を二乗して、量子的な演算子に置き換えると, \begin{align*} \left(i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\right)^2\phi&=\left\{(mc^2)^2+c^2\left(-i\hbar \nabla\right)^2\right\}\phi \\ \left\{\hbar^2\left(\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right)+m^2c^2\right\}\phi&=0\\ \left(\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi&=0 \end{align*} となります。ところで、この方程式の導出は相対論的なエネルギーからでした。というわけで相対論的な記法で表してあげましょう。 \begin{align*} \partial_\mu&=\left(\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t},\nabla\right)\\ \partial^\mu&=\left(\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t},-\nabla\right) \end{align*} とすれば, \begin{align*} \Box=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2=\partial_\mu \partial^\mu \end{align*} と、ダランベルシアンが表現できるこ