解析力学② オイラー・ラグランジュの方程式,作用積分
最小作用の原理からオイラーラグランジュ方程式を導く
ここでは最小作用の原理を用いて作用積分オイラー・ラグランジュ方程式という物理学で広く使われている方程式を導出します。最小作用の原理と作用積分
最小作用の原理
一般化座標$q$とその時間による一階微分に依存するラグランジアン$L(q,\dot{q})$について、作用積分$I$を以下のように定義します。
\begin{align*}
I\stackrel{def}{=}\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q})\ dt
\end{align*}
物体の運動は作用積分が停留点を取るように運動します。
オイラー・ラグランジュ方程式の導出
オイラー・ラグランジュ方程式
一般化座標$q$とその時間による一階微分に依存するラグランジアン$L(q,\dot{q})について
\begin{align}
\dfrac{\partial L}{\partial q}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0 \label{eq-am2:1}
\end{align}
が成り立ちます。
\begin{align}
\delta I
&=\int_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q})dt-\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q})dt\nonumber \\
&=\int_{t_1}^{t_2}\left\{L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q})-L(q,\dot{q})\right\}dt \label{eq-am2:2}
\end{align}
ここで、最右辺の被積分関数第1項について微小項なのでテイラー展開すると、
\begin{align*}
L(q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q})\approx L(q,\dot{q})+\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial q}\delta q+\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q}
\end{align*}
これを用いれば、$\eqref{eq-am2:2}$式は、
\begin{align}
\delta I=\int_{t_1}^{t_2}\left\{\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial q}\delta q+\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}\right\}dt\label{eq-am2:3}
\end{align}
ここで、変分法の特徴として、微分と変分の入れ替えが可能で、
\begin{align*}
\delta \dot{q}=\delta\left(\dfrac{dq}{dt}\right)=\dfrac{d(\delta q)}{dt}
\end{align*}
となるので、$\eqref{eq-am2:3}$式は、
\begin{align}
\delta I=\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{dq}\delta q dt+\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial \dot{q}}\dfrac{d(\delta q)}{dt}dt \label{eq-am2:4}
\end{align}
この第二項を部分積分すれば、
\begin{align}
&\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial \dot{q}}\dfrac{d(\delta q)}{dt}dt \nonumber \\
&=\left. \dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial \dot{q}}\delta q\right|_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial \dot{q}}\right)\delta q\nonumber \\
&=-\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial \dot{q}}\right)\delta q
\end{align}
ここで、最後の変形には、始点と終点が一致しているので、$\delta q=0$を利用しました。
これを利用して、$\eqref{eq-am2:4}$式は、
\begin{align}
\delta I=\int_{t_1}^{t_2}\left\{\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial q}-\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{d\dot{q}}\right)\right\}\delta q dt
\end{align}
停留点を取る条件は$\delta I=0$なので、恒等的にこれが成り立つためには被積分関数内の式が恒等的に0であるようになる必要があります。つまり、
\begin{align}
\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial q}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial \dot{q}}=0 \tag{\ref{eq-am2:1}}
\end{align}
であり、これでオイラー・ラグランジュ方程式が導けました。
物理法則はこの最小作用の原理に従う、というわけなのですが、作用積分とは何なのかということは統一的な理解はありません。ちなみにラグランジアンについてもあまり統一的な理解はないですが、古典力学への応用は簡単にできるので、以下で考えてみます。
オイラーラグランジュ方程式から運動方程式を導く
古典力学では、運動エネルギー$K$,ポテンシャルエネルギー$V$に対し、\begin{align*}
L(q,\dot{q})=K-V
\end{align*}
とできます。たとえば、ばね定数$k$のばねについて単振動する質量$m$の物体を考えます。座標を表す変数$q$を$x$として、
\begin{align*}
K&=\dfrac{1}{2}m\left(\dot{x}\right)^2\\
V&=\dfrac{1}{2}kx^2
\end{align*}
とできます。よってラグランジアンは、
\begin{align*}
L(x,\dot{x})=\dfrac{1}{2}m\left(\dot{x}\right)^2-\dfrac{1}{2}kx^2
\end{align*}
となります。このとき、
\begin{align*}
\dfrac{\partial L(x,\dot{x})}{\partial x}&=-kx\\
\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}&=\dfrac{d}{dt}(m\dot{x})\\
&=m\ddot{x}
\end{align*}
つまり、これらを\eqref{eq-am2:1}式に代入すれば、
\begin{align}
m\ddot{x}=-kx
\end{align}
となります。また、次元が2以上の場合にはその各座標成分に対してオイラー・ラグランジュ方程式を書けばよいことになります。