解析力学③ ハミルトンの正準方程式
ハミルトンの正準方程式とは？その導出
ハミルトニアンという量をラグランジアンを用いて定義して、そこから得られる方程式を考えます。ハミルトンの正準方程式とは?
ハミルトンの正準方程式
時刻$t$,一般化座標$q_i$,一般化運動量$p_i$に依存するハミルトニアン$H(p,q,t)$について、
\begin{align}
\dfrac{\partial H}{\partial p_i}&=\dot{q_i} \label{eq-am3:1}\\
\dfrac{\partial H}{\partial q_i}&=-\dot{p_i} \label{eq-am3:2}
\end{align}
共役運動量を定義する
共役運動量
一般化座標$q_i$とラグランジアン$L(q_1,\cdots,q_N,\dot{q_1},\cdots, q_N)$より、共役運動量$p_i$を以下のように定義する。
\begin{align}
p_i\stackrel{def}{=}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \label{eq-am3:3}
\end{align}
ハミルトニアンとルジャンドル変換
ハミルトニアン
新しい関数$H(q_1,q_2,\cdots,q_N,p_1,p_2,\cdots,p_N)$は、ラグランジアン$L$のルジャンドル変換として、
\begin{align}
H=\sum_{i=1}^N p_i\dot{q}_i-L \label{eq-am3:4}
\end{align}
と定義されます。
ハミルトンの正準方程式の導出
前回の記事で求めたオイラー・ラグランジュの方程式を用いて、ハミルトンの正準方程式を導きたいと思います。ラグランジアンの全微分は、\begin{align*}
dL&=\sum_{i=1}^N\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\right)
\end{align*}
と表されるので、これと$\eqref{eq-am3:4}$式からハミルトニアンの微小量を取れば、
\begin{align*}
dH&=\sum_{i=1}^N\left(\dot{q}_idp+pd\dot{q}_i\right)-\sum_{i=1}^N\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\right)\nonumber \\
&=\sum_{i=1}^N\left\{\left(p_i-\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i }\right)d\dot{q}_i+\dot{q}_idp-\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i\right\}
\end{align*}
ここで、オイラー・ラグランジュの方程式は、
\begin{align*}
\dfrac{\partial L}{\partial q_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=0
\end{align*}
と表されるので、
\begin{align*}
\dfrac{\partial L}{\partial q_i}&=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}
\end{align*}
とできます。よって、
\begin{align*}
dH=\sum_{i=1}^N \left\{\left(p_i-\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)d\dot{q}_i-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}dq_i+\dot{q}_idp_i\right\}
\end{align*}
\eqref{eq-am3:4}を用いて、一般化座標の時間微分による微分項を消去すると、
\begin{align}
dH&=\sum_{i=1}^N \left(\dot{q_i}dp_i-\dfrac{dp_i}{dt}dq_i\right)\nonumber\\
&=\sum_{i=1}^N \left(\dot{q}_idp_i-\dot{p}_idq_i\right) \label{eq-am3:5}
\end{align}
となります。ところで、全微分というのは各量の偏微分で求まるので、
\begin{align}
dH=\sum_{i=1}^N \left(\dfrac{\partial H}{\partial p_i}dp_i+\dfrac{\partial H}{\partial q_i}dq_i\right)\label{eq-am3:6}
\end{align}
\eqref{eq-am3:5},\eqref{eq-am3:6}の辺々を比較することで、以下の2式、つまりハミルトンの正準方程式が導かれます。
\begin{align}
\dfrac{\partial H}{\partial q_i}&=-\dot{p}_i\\
\dfrac{\partial H}{\partial p_i}&=\dot{q}_i
\end{align}
古典力学への応用
オイラー・ラグランジュ方程式の記事と同様にばね定数$k$のばねによって単振動する質量$m$の質点を考えます。ラグランジアン$L$は、\begin{align*}
L&=K-V \nonumber \\
&=\dfrac{p^2}{2m}-\dfrac{1}{2}kx^2
\end{align*}
となります。ここでハミルトニアンは、
\begin{align*}
H&=\sum_{i=1}^N p_i\dot{q}_i-L\nonumber \\
&=pv-\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}kx^2\nonumber \\
&=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}kx^2
\end{align*}
となります。実は、ポテンシャルが速度に依存しないときにはハミルトニアンは全エネルギー量を表すことになります。このハミルトニアン$H$を$x,p$で微分すれば、正準方程式から
$$
\left\{
\begin{align}
\dfrac{\partial H}{\partial x}=kx=-\dot{p} \label{result3}\\
\dfrac{\partial H}{\partial p}=\dfrac{p}{m}=\dot{x} \label{result4}
\end{align}
\right.
$$
ここで、$dp=mdv$であることを考えれば、$\eqref{result3}$式は運動方程式、$\eqref{result4}$式は質点の速度を示していることが分かります。
いま、座標変数として$x$軸を取っていたので運動量が$p$として出てきましたが、一般化座標として角度をとると角運動量が出てきます。その意味で$p$は「一般化」運動量と表現されています。