微分積分⑱ 重積分(ヤコビアンなど)
逐次積分とヤコビアン
簡単な重積分の計算方法・逐次積分
変域が独立の場合
重積分というのは単純に変数が複数ある積分です。たとえば、関数$f(x,y)=x+y$を領域$0\leq x \leq 1,0\leq y\leq 1$で積分することを考えましょう。\begin{align*}\int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dx dy
&=\int_0^1 \left(\int_0^1 f(x,y)dx \right)dy\\
&=\int_0^1 \left(\int_0^1 (x+y)dx \right)dy\\
&=\int_0^1\left[\dfrac{1}{3}x^2+xy \right]^1_0 dy\\
&=\int_0^1 \left(\dfrac{1}{3}+y\right)dy\\
&=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{5}{6}
\end{align*}
$x$で積分するときは、$y$を固定しています。今回は互いの定義域は独立で0から1となっています。このように互いの変域が独立の場合には積分の順番も気にしないでどちらから積分しても答えは同じになります。
変域が独立でない場合
次に$0\leq x \leq 1,0\leq y \leq e^x$での積分を考えてみましょう。このように互いの定義域が独立でないときには、先に他の変数に依存している変数から積分してあげる必要があります。今回の場合では$y$から積分するということです。\begin{align*}\int_0^1 \left(\int_0^{e^x}f(x,y)\ dy\right)dx
&=\int_0^1 \left\{\int_0^{e^x}\left(x+y\right)dy\right\}dx\\
&=\int_0^1 \left[xy+\dfrac{1}{2}y^2\right]^{e^x}_0 dx\\
&=\int_0^1 \left(xe^x+\dfrac{1}{2}e^{2x}\right)dx\\
&=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1e^x dx+\dfrac{1}{4}\left[e^{2x}\right]^1_0\\
&=e-(e-1)+\dfrac{1}{4}(e^2-1)\\
&=\dfrac{1}{4}(e^2+3)
\end{align*}
となります。ところで、重積分では積分順序の入れ替えができます。$0\leq x \leq 1,0\leq y \leq e^x$というのは、$\log{y}\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1$
と同じことになります。この範囲で積分するには$x$から積分することで重積分が計算できます。これらは一旦片方の文字を固定して、他方を動かすということになります。このことから逐次積分と呼びます。
極座標への置換積分・ヤコビアンの使い方
次に、ヤコビアンを紹介します。たとえば、積分範囲を$x^2+y^2\leq 1$として関数$f(x)$の積分を計算することにします。これまで紹介したとおりに積分するとすれば、例えば、 $-1\leq x\leq 1,-\sqrt{1-x^2}\leq y\leq \sqrt{1-x^2}$ とすることができます。これでも計算できるのですが、$x$の積分をするときにルート計算が出てきてうっとうしいことになります。こんなとき、一変数であれば置換積分を行うはずです。それに倣って、変数変換をしたいわけです。たとえば、極座標
\begin{align*}
x&=r\cos{\theta}\\
y&=r\sin{\theta}
\end{align*}
への変換を考えましょう。変数$(r,\theta)$の動く範囲は、
$0\leq r\leq 1, 0\leq \theta\leq 2\pi$
となります。さらにここで、
$dx\ dy$
を変換したいわけです。この方法が難しいわけです。ところで、これらの変数変換$(x,y)\to(r,\theta)$の全微分に対して成り立つ関係を考えます。
\begin{align*}
dx&=\dfrac{\partial x}{\partial r}dr+\dfrac{\partial x}{\partial \theta}d\theta\\
dy&=\dfrac{\partial y}{\partial r}dr+\dfrac{\partial y}{\partial \theta}d\theta
\end{align*}
これを図形的に考えたいのでベクトルの形で表しましょう。変数$z$の方向を示す単位ベクトルを$\boldsymbol{e_z}$のように表すと、
\begin{align*}
dx\boldsymbol{e_x}&=\dfrac{\partial x}{\partial r}dr\boldsymbol{e_r}+\dfrac{\partial x}{\partial \theta}d\theta\boldsymbol{e_\theta}\\
dy\boldsymbol{e_y}&=\dfrac{\partial y}{\partial r}dr\boldsymbol{e_r}+\dfrac{\partial y}{\partial \theta}d\theta\boldsymbol{e_\theta}
\end{align*}
ところで、ベクトル$\boldsymbol{u}=(a,b),\boldsymbol{v}=(c,d)$がなす四角形の面積は外積によって、
$|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}|=|ad-bc|$
となります。(ただ、$x,y$成分のようにそれぞれの成分が直交しているという前提です)
$\boldsymbol{e_r,e_\theta}$は直交するので、この公式が適用できて、
\begin{align*}
dx\ dy=\left|\dfrac{\partial x}{\partial r}\dfrac{\partial y}{\partial \theta}-\dfrac{\partial x}{\partial\theta}\dfrac{\partial y}{\partial r}\right|dr\ d\theta
\end{align*}
となります。ところで、この絶対値の中身は、
\begin{equation}
J(r,\theta)=\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}
\end{pmatrix}
\end{equation}
という行列の行列式になっています。この行列$J(r,\theta)$をヤコビ行列と呼びます。ちなみに、このヤコビ行列は、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}dx\\ dy \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dr\\ d\theta\end{pmatrix}=J(r,\theta)\begin{pmatrix}dr\\d\theta\end{pmatrix}
\end{align*}
という関係にあります。ところで、今積分したいのは、$f(x,y)=x+y$を$0\leq x^2+y^2\leq 1$で積分することでした。ここで、極座標への変数変換を行うと、
$0\leq r\leq 1, 0\leq \theta \leq 2\pi$
であり、ヤコビアン(ヤコビ行列の行列式)は、
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\cos{\theta} & -r\sin{\theta}\\
\sin{\theta} & r\cos{\theta}
\end{vmatrix}=r
\end{align*}
となります。よって、
\begin{align*}
&\iint f(x,y)\ dxdy\\&=\int_0^1 \int_0^{2\pi}r\left(\cos{\theta}+\sin{\theta}\right)r drd\theta\\
&=\int_0^1 \int_0^{2\pi} r^2\left(\cos{\theta} +\sin{\theta}\right)drd\theta\\
&=0
\end{align*}
となります。