微分積分⑱ ガンマ関数
ガンマ関数の公式一覧とその導出
ガンマ関数は階乗の一般化と言われることが多いです。階乗をまるで連続関数のように扱うことができます。実は、複素数値の関数としても大体同じような性質が言えることが多いですが、扱いが難解になるので一旦実数に限って話を進めます。
この記事は広義積分のある程度の理解を前提として書いています。
ガンマ関数公式一覧
ガンマ関数公式一覧
$x$$\in \mathbb{R}$,$n$$\in \mathbb{N}$について、ガンマ関数
\begin{align*}
\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt
\end{align*}
について以下の性質が成り立ちます。
\begin{align}
\Gamma(x+1)&=x\Gamma(x) \label{eq:1}\\
\Gamma(1)&=1 \label{eq:2}\\
\Gamma(n+1)&=n! \label{eq:3} \\
\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)&=\sqrt{\pi} \label{eq:4} \\
\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)&=\dfrac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}
\end{align}
ガンマ関数の性質の導出
(1)式の導出
$\Gamma(x)$の計算を進めると$\Gamma(x+1)$を含む項が出てきた！というのが自然な流れな気がしますが、そうすると$x$が分母に来てしまうので、$\Gamma(x+1)$から出発します。部分積分を利用すると以下のように変形できると思います。
\begin{align*}
\Gamma(x+1)
&=\int_0^\infty t^{x}e^{-t}dt \\
&=\int_0^\infty t^x\dfrac{d}{dt}\left(-e^{-t}\right)dt \\
&=\left.-t^xe^{-t}\right|^\infty_0+\int_0^\infty \dfrac{dt^x}{dt}e^{-t}dt \\
&=\left.-t^xe^{-t}\right|^\infty_0+x\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}dt
\end{align*}
ここで、第一項について、$x$は基本的には有限と考えて計算を進めてよいことになってます。このとき、$t^xe^{-t}$$\to 0$$(t\to\infty)$と考えることができます。よって、第一項は0になり、
\begin{align*}
\Gamma(x+1)&=x\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}dt \\
&=x\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}dt \\
&=x\Gamma(x)
\end{align*}
これで、\eqref{eq:1}は導出終了です。
(2)式の導出
\begin{align*}
\Gamma(1)=1
\end{align*}
この式を導きますが、これは部分積分と広義積分の知識ですぐに計算できます。
\begin{align*}
\Gamma(1)
&=\int_0^\infty t^{1-1}e^{-t}dt \\
&=\int_0^\infty e^{-t}dt \\
&=\left. -e^{-t}\right|^\infty_0 \\
&=1
\end{align*}
(3)式の導出
以下の式を証明します。ただし、$n$$\in \mathbb{N}$とします。\begin{align*}
\Gamma(n+1)=n!
\end{align*}
$n\in\mathbb{N}\subset \mathbb{R}$なので、\eqref{eq:1}が使えます。
\begin{align*}
\Gamma(n+1)&=n\cdot\Gamma(n) \\
&=n\cdot (n-1)\cdot\Gamma(n-1) \\
&=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \Gamma(n-2) \\
&=\cdots \\
&=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot\cdots\cdot2\cdot1\cdot\Gamma(1) \\
&=n!\Gamma(1)
\end{align*}
\eqref{eq:2}のとおり、$\Gamma(1)$$=1$なので、
\begin{align*}
\Gamma(n+1)=n!
\end{align*}
となります。
(4)式の導出
\begin{align*}
\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\int_0^\infty t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt=\sqrt{\pi} \tag{\ref{eq:4}}
\end{align*}
を示します。$t^\frac{1}{2}$$=s$とおくと、$s^2$$=t$で,$2sds$$=dt$となります。積分範囲は$s$:$0$$\to\infty$となります。ガウス積分を使って計算すると以下のようになります。
\begin{align*}
\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)&=\int_0^\infty s^{-1}e^{-s^2}\cdot 2sds \\
&=2\int_0^\infty e^{-s^2}ds \\
&=2\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi} \\
&=\sqrt{\pi}
\end{align*}
となります。
(5)式の導出
\begin{align*}
\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}
\end{align*}
を示します。ただし、
\begin{align*}
(2n-1)!!&=(2n-1)\left\{2(n-1)-1\right\}\cdot\ \cdots\ \cdot (2\cdot1-1)
\end{align*}
ということです。さて、\eqref{eq:5}の導出には\eqref{eq:1}と\eqref{eq:4}を用います。
\begin{align*}
\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)&=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(n-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(n-\dfrac{3}{2}\right)\Gamma\left(n-\dfrac{3}{2}\right) \\
&=\cdots \\
&=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(n-\dfrac{3}{2}\right)\cdot\ \cdots\ \cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{(2n-1)\cdot(2n-3)\cdot\ \cdots\ \cdot3\cdot1}{2^n}\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}
\end{align*}