線形代数① 行列の和と積
線形代数とは?行列とは?
行列の定義から紹介しますが、和までは受け入れやすいと思います。問題は積からで...行列の型
行列というのはどのようなものかというと、たとえば、\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -2\\
0 & 9 & 3 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
こんな感じに数字に並べたものです。ただそれだけ。ここで、横並びを行、縦並びを列といいます。今回は、行が2つ、列が3つあるので、2行3列の行列、$2\times 3$の行列といいます。
行列の和
行列の和を定義します。行列の演算が定義できるかどうかは互いの型によって決まるというのが特徴です。和の定義は簡単で互いの型が一致するときのみ定義されます。たとえば、一般に行列$A,B$を$m\times n$の行列として、その成分を$A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]$と表します。(つまり、行列$A$の$i$行$j$列の成分が$a_{ij}$ということ)
行列の和
\begin{align*}
A+B\stackrel{def}{=}[a_{ij}+b_{ij}]
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3\\
2 & 4 & -2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 & 3 & 2\\
2 & -3 & 0\\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1+(-3) & 2+3 & (-3)+2\\
2+2 & 4+(-3) & (-2)+0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
-2 & 5 & -1\\
4 & 1 & -2
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。
行列の定数倍(スカラーの積)
行列にスカラーをかけたらどうなるか。スカラー$c$を行列$A$にかけると行列の定数倍
\begin{align*}
cA\stackrel{def}{=}[ca_{ij}]
\end{align*}
\begin{align*}
3
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3\\
2 & 4 & -2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
3\cdot1 & 3\cdot2 & 3\cdot(-3)\\
3\cdot2 & 3\cdot4 & 3\cdot(-2)
\end{pmatrix} \\
3
\begin{pmatrix}
3 & 6 & -9\\
6 & 12 & -6
\end{pmatrix}
\end{align*}
行列どうしの積
これが最初の難関です。行列の積
行列$A$を$k\times l$の行列、行列$B$を$m\times n$の行列とします。行列の積$AB$は、$l=m$のときのみ定義されます。その積は、
\begin{align*}AB=\left[\sum_{k=1}^{l(=m)}a_{ik}b_{kj}\right]\end{align*}
と定義されます。
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3\\
2 & 4 & -2\\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
0\\
1
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1\cdot2+2\cdot0+(-3)\cdot1\\
2\cdot2+4\cdot0+(-2)\cdot1\\
0\cdot2+2\cdot0+1\cdot1
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}
と計算できるわけです。さてこの計算が難しいのですが、自分は個人的に後ろの行列を反時計回りに90度回転させてそこからベクトルの内積を取るような感覚で計算しています。(伝わるかな...)