微分積分㉑ n次元球
n次元球の体積・表面積の公式
以下のような式を考えます。\begin{align*}
x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_n^2\leq r^2
\end{align*}
これを満たすような領域を$n$次元球といいます。以下、ガウス積分で証明する方法を紹介します。
n次元球の表面積・体積の次元を推測
ガウス積分を考える
以下のように$I$をおきます。\begin{align*}
I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}
\end{align*}
ガウス積分の記事を参照して、
\begin{align}
I^n=\pi^\frac{n}{2} \label{eq:1}
\end{align}
となります。これを別の方法で計算できないか、ということを考えてみましょう。
\begin{align}
I^n=\int_{-\infty}^\infty dx_1\int_{-\infty}^\infty dx_2\cdots\int_{-\infty}^\infty dx_n\ e^{-(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)} \label{eq:2}
\end{align}
さて、右辺なのですが、この積分を変数変換することにしましょう。つまり、ヤコビアンにあたる部分を求めたいと思います。さて、具体例を考えましょう。
2,3次元のヤコビアンを考える
2次元では、$(x,y)$を$(r,\theta)$とおきかえたのでした。そして、このヤコビアン(ヤコビ行列式の絶対値)は、\begin{align*}
J_2(r,\theta)=r
\end{align*}
となりました。3次元では、$(x,y,z)$を$(r,\theta,\phi)$と置き換えたのでした。このときのヤコビアンは、
\begin{align*}
J_3(r,\theta,\phi)=r^2\sin{\theta}
\end{align*}
となりました。つまり、
\begin{align*}
dxdy&=J_2(r,\theta)drd\theta&= rdrd\theta \\
dxdydz&=J_3(r,\theta,\phi)drd\theta d\phi&= r^2\sin{\theta}dr d\theta d\phi
\end{align*}
ということです。この変数変換のときには、$r$の部分だけに長さの次元を与えて、ほかの文字は無次元量としています。同様にして、
\begin{align*}
\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_n^2}= r
\end{align*}
に対する変数変換を行いましょう。長さの次元をもつ$r$と、無次元量$\theta_i$($i=1$,$2$,$\cdots$,$n-1$)に対する変換に変更しましょう。つまり、ヤコビアン$J_n$について、
\begin{align*}
dx_1dx_2\cdots dx_n=J_ndrd\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_{n-1}
\end{align*}
と、考えてもよいでしょう。(参考:重積分(ヤコビアンなど))さて、左辺で$dx_i$を長さの次元と考えれば、長さ の$n$乗になります。このとき、$J_n$は長さの$n-1$乗の次元をもちます。
また、球というのは対称性から、角度成分に依存しないのでした。たとえば、角度に依存しないのであれば、3次元では、
\begin{align*}
\iiint_{|\boldsymbol{r}|\leq R} dxdydz=\int_0^\pi d\theta \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^R dr=\int_0^R 4\pi r^2dr
\end{align*}
というようになりました。
\begin{align*}
\int dx_1\int dx_2 \int dx_3\cdots \int dx_n =\int (n-1\text{次式})dr
\end{align*}
とかけそうな気がします。ちなみに、さっきでてきた$4\pi r^2$は表面積ですね。というわけで、$n$次元に関して、ここに出てくる数を面積という意味を込めて$S_n$とおきます。つまり、
\begin{align}
\int dx_1\int dx_2 \int dx_3\cdots \int dx_n =\int S_ndr \label{eq:3}
\end{align}
という感じです。また、この積分が表す$n$次元球の体積($V_n$とおきます)は長さの$n-1$乗の次元をもつ$S_n$に微小な長さ$dr$をかけて積分するので、長さの$n$乗の次元です。また、$S_n$と$V_n$の間には、
\begin{align*}
S_n=\dfrac{dV_n}{dr}
\end{align*}
という関係があります。では、ここまでの考察を式で表すことにします。まず、$n$次元球の体積$V_n$を
\begin{align}
V_n=c_nr^n \label{eq:4}
\end{align}
とおきます。ここで、$c_n$は無次元の数です。$S_n$は、この微分なので、
\begin{align}
S_n=\dfrac{dV_n}{dr}=nc_nr^{n-1} \label{eq:5}
\end{align}
となります。
ガウス積分の計算を複数通りで実行する
\eqref{eq:1},\eqref{eq:2},\eqref{eq:3}より、\begin{align*}
I^n=\int_{-\infty}^\infty dx_1\int_{-\infty}^\infty dx_2\cdots\int_{-\infty}^\infty dx_n\ e^{-(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)}=\int_0^\infty e^{-r^2}S_ndr=\pi^\frac{n}{2}
\end{align*}
ここで、\eqref{eq:5}を用いて、式を書き換えます。ただし、$c_n$は\eqref{eq:4}で定義されています。
\begin{align*}
\int_0^\infty e^{-r^2}nc_nr^{n-1}dr=\pi^\frac{n}{2}
\end{align*}
いま、決定したいのは$c_n$です。この式を$c_n$について解くと、
\begin{align}
c_n=\dfrac{\pi^\frac{n}{2}}{\displaystyle n\int_0^\infty r^{n-1}e^{-r^2}dr} \label{eq:6}
\end{align}
さて、分母についてなのですが、$r^2$$=t$とおいて置換積分することにします。$2rdr$$=dt$となるので、
\begin{align*}
\int_0^\infty r^{n-1}e^{-r^2}dr&=\dfrac{1}{2}\int_0^\infty r^{n-2}e^{-r^2}2rdr \\
&=\dfrac{1}{2}\int_0^\infty t^\frac{n-2}{2}e^{-t}dt \\
&=\dfrac{1}{2}\int_0^\infty t^{\frac{n}{2}-1}e^{-t}dt
\end{align*}
この中身はガンマ関数
\begin{align*}
\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt
\end{align*}
とそっくりですね。というわけで、\eqref{eq:6}は、
\begin{align*}
c_n&=\dfrac{\pi^\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}\Gamma\left(\dfrac{n}{2}\right)}
\end{align*}
また、ガンマ関数というは階乗の一般化でした。というわけで、$x$$\in \mathbb{R}$について、
\begin{align*}
\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)
\end{align*}
が成り立ちます。よって、
\begin{align*}
c_n=\dfrac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}
\end{align*}
つまり、$n$次元球の体積は、
\begin{align*}
V_n=\dfrac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}r^n
\end{align*}
となります。