大学数学基礎:ε-δ論法、ε-N論法

ε-δ論法,ε-N論法とは？

高校数学であまり重要視されなかった極限とは何か？という問いに対する答えです。極限を数学的に確実な定義を定めたいところです。

イプシロンデルタ論法による連続関数の極限の定義

$\varepsilon$-$\delta$論法というのは連続関数の極限を厳密に定義するためのものです。極限を計算するときには高校までと同じように計算すればよいのですが...

$\varepsilon-\delta$論法

\( \displaystyle \lim_{x\to x_1}f(x)=c \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\) \( \forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0; 0\lt|x-x_1|\lt\delta \)\( \Rightarrow 0\lt|f(x)-f(x_1)|\lt\varepsilon \)

これが数学的な厳密な表現です。

論理記号の紹介

$\forall$というのがAnyのAを逆さまにしたもので、任意のという意味です。
$\exists$はExistsのEを反転したもので、存在するという意味です。
s.t.という記号が英語のsuch thatの省略で、;は同じ意味です。


数学記号で書かれているのでわかりにくいかもしれませんが、日本語に直すと、 「任意の$\varepsilon$に対して、$0\lt|x-x_1|\lt\delta$ならば$0\lt|f(x)-f(x_1)|\lt\varepsilon$となるような$\delta$が存在する」
ということです。

イプシロンエヌ論法による数列の極限の定義

次に説明するのは、$\varepsilon$-$N$論法です。これは数列の収束など、自然数$n$に対する列、離散的な列の極限の定義です。

$\varepsilon-N$論法 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=c \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\) \(\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \gt 0\ ;\ n\gt N\) \(\Rightarrow 0\lt|a_n-a_N|\lt\varepsilon\)

ここで、$n,N$は自然数です。これも日本語に直せば、 「任意の$\varepsilon$に対して、$n>N$ならば$0\lt|a_n-a_N|\lt\varepsilon$となる自然数$N$が存在する」 と言い換えることができます。 もちろん普段そこまでこの論法にこだわる必要はないですが、極限ってどういうことだっけ？ってなったときに見返せばいいかなぁ。

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