大学数学基礎:双曲線関数・逆三角関数
双曲線関数・逆三角関数の微分
逆関数と双曲線関数について紹介します。双曲線関数の公式
双曲線関数とは？
双曲線関数とは以下の式をいいます。双曲線関数
それぞれ、ハイパボリックサイン、ハイパボリックコサイン、ハイパボリックタンジェントと読みます。
これが双曲線関数と呼ばれるワケは、
\begin{align*}\sinh{x}&=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\ \cosh{x}&=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\ \tanh{x}&=\dfrac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\\&=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
\end{align*}
\begin{align*}\cosh^{2}{x}-\sinh^{2}{x}&=\left(\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2}\\ &=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}\\
&=1
\end{align*}
という関係式が成り立つからです。双曲線の式、という形と非常に似ていますね。普通、$ x = \cos{t} , y= \sin{t}$ などと置いたと思いますがその感覚です。この双曲線関数は三角関数と非常に似た性質を持っています。
双曲線関数の微分公式
微分については以下のようになっています。\begin{align*}
\frac{d}{dx}\sinh{x}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\\
&=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\
&=\cosh{x}\\
\frac{d}{dx}\cosh{x}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)\\
&=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\
&=\sinh{x}
\end{align*}
確かに三角関数の微分と似ていて$\sinh{}$の微分が$\cosh{}$に，$\cosh{}$の微分が$\sinh{}$になるわけですが，$\cosh{}$を微分してもマイナスになりません。
逆三角関数とはなにか？
逆三角関数、つまり三角関数の逆関数についてです。表記方法としては、arc (三角関数名)と書きます。たとえば、$\sin {x}$ の逆関数なら$\arcsin{x}$と書くということです。逆関数を導入したい経緯?
たとえば、\begin{equation}
\cos{\theta}=0.8
\end{equation}
の解を求めたいという時に、現代なら計算機にやらせればいいのですが，この解はきれいに出せないわけです。というわけでいちいち日本語で上の式を満たす$\theta$，なんて解の説明をするのは問題を解くうえでかなり面倒です。この逆三角関数を用いれば、
\begin{equation}
\theta=\arccos{0.8}
\end{equation}
とすごく簡単に表現できます。こんな理由で表記方法は理解しておく必要があるように思います。
表記方法の注意
逆関数のarcの最初の文字を大文字にすると、主値となります。三角関数は周期関数ですから、たとえば$\sin{x}=1$の答えは、$x$の定義域を絞らなければ、無数に存在します。つまり、逆三角関数の値は範囲が絞られていなければ無数に存在します。そこで、主値というものがあります。主値とは、最も基本的な答えということです。たとえば角度を０から$\pi$に絞るとか。この主値は時と場合によって変わるので詳しくは教科書を確認してくださいね。（おそらく、試験で逆三角関数が出てくるなら問題文中に範囲の指定があると思われます。）
また、単純に$arc$とつけずに単純に$\sin^{-1}{x}$などと表すことも多いです。
逆三角関数の微分
逆三角関数については少し複雑です。これはもう将来的には公式として覚えておくのが望ましいですが，あまり使いません...その場で導出しても良いのではないでしょうか。 まずは、結果のみ書きます。逆三角関数の微分
たとえば，$-1\lt x\lt 1$のとき、
$\tan{\theta}$がすべての実数を取り得るので，実は$\arctan{}$に関しては定義域はすべての実数で大丈夫です。
\begin{align*}
\dfrac{d}{dx}\arcsin{x}&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ (-1\lt x\lt 1)\\
\dfrac{d}{dx}\arccos{x}&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ (-1\lt x\lt 1)\\
\dfrac{d}{dx}\arctan{x}&=\dfrac{1}{1+x^{2}}\ (x\in \mathbb{R})\\
\end{align*}
逆三角関数の微分公式の導出
導出も結構簡単です。$y=\arcsin{x}$の微分
$x=\sin{y}$と表せるので、この辺々を$x$で微分すると、合成関数の微分法を用いることと，一般的に主値としてとられる$-\frac{\pi}{2}\lt y \lt \frac{\pi}{2}$で考えることにすると，$\cos{y}\gt 0$なので\begin{align*}
1&=\cos{y}\dfrac{dy}{dx}\\
\therefore \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{\cos{y}}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}{y}}}\\&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{align*}
以上で導けました。
$\arccos{x}$の微分
ここでも，$x=\cos{y}$と変形して，この辺々を$x$で微分すると，\begin{align*}
1&=-\sin{y}\frac{dy}{dx}\\
\frac{dy}{dx}&=-\frac{1}{\sin{y}}\\
&=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2{y}}}\\
&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align*}
$y=\arctan{x}$の微分
$x=\tan{y}$なので、この辺々を$x$で微分すると、\begin{align*}
1&=\dfrac{1}{\cos^{2}{y}}\dfrac{dy}{dx}\\&=\left(\tan^{2}{y}+1\right)\dfrac{dy}{dx}\\&=(x^{2}+1)\dfrac{dy}{dx}\\ \therefore \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x^{2}+1}
\end{align*}
となります。