量子力学⑮ クライン・ゴルドン方程式と確率密度の問題
クライン・ゴルドン方程式と確率解釈
Klein-Gordon方程式を紹介します。シュレディンガー方程式は時間に関しては1階微分、空間座標に関しては2階微分なので、空間と時間を同等に扱う相対性理論としては不適切な式でしょう。これを解決するために相対論的なエネルギーの式から導出を始めます。クライン・ゴルドン方程式とは？
クライン・ゴルドン方程式
\begin{align}
\left(\partial_\mu \partial^\mu+\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi=0 \label{eq-quantum15:1}
\end{align}
ただし、$\partial_\mu=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla\right)$,$\partial^\mu=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},-\nabla\right)$としています。
相対論的なエネルギーを計算する
相対論的にはエネルギーというのは\begin{align*}
E^2=\boldsymbol{p}^2c^2+m^2c^4
\end{align*}
という式からスタートします。この物理量エネルギー、運動量を
\begin{align*}
\hat{E}&= i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} \\
\boldsymbol{p}&= -i\hbar \nabla
\end{align*}
というように演算子で置き換えて波動関数$\phi$をつけると、
\begin{align*}
-\hbar^2 \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\phi=\left(-c^2\hbar^2\nabla^2+m^2c^4\right)\phi
\end{align*}
この辺々を$\hbar^2c^2$でわって整理すると、、
\begin{align}
\left(\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi=0 \tag{\ref{eq-quantum15:1}}
\end{align}
これがクライン・ゴルドン方程式です。結論から言うとこのクライン・ゴルドン方程式を満たす$\phi$は確率密度を表す波動関数としては不適切になります。
連続の式を用いて確率の流れを計算する
連続の式は以下の式です。\begin{align}
\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \boldsymbol{j}=0 \label{eq-quantum15:2}
\end{align}
この密度$\rho$と流れ$\boldsymbol{j}$を計算しましょう。時間微分がわかればなんとなくヒントが出てきそうです。シュレディンガー方程式での確率流と同じように求める必要があります。
クライン・ゴルドン方程式から時間の一階微分を作る
\eqref{eq-quantum15:1}式の左から$\phi^*$をかけて、整理すると、\begin{align}
\phi^*\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=c^2\phi^*\nabla^2 \phi+\dfrac{m^2c^4}{\hbar^2}\phi^*\phi \label{eq-quantum15:3}
\end{align}
また、クラインゴルドン方程式の辺々のその式に右から$\phi$をかけて整理すると、
\begin{align}
\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}\phi=c^2\left(\nabla^2\phi^*\right)\phi+\dfrac{m^2c^4}{\hbar^2}\phi^*\phi \label{eq-quantum15:4}
\end{align}
\eqref{eq-quantum15:3}と\eqref{eq-quantum15:4}式の差を取れば、
\begin{align*}
\phi^*\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 \phi^*}{\partial t^2}\phi=c^2\left\{\phi^*\nabla^2\phi-\left(\nabla^2\phi^*\right)\phi\right\}
\end{align*}
ここで、以下の式を計算すると上の式と等しくなります。だから上の式を以下の式に変形したものとして扱いましょう。
\begin{align*}
\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\phi^*\dfrac{\partial\phi}{\partial t}-\dfrac{\partial \phi^*}{\partial t}\phi\right)=c^2\nabla\cdot\left\{\phi^*\nabla\phi-\left(\nabla\phi^*\right)\phi\right\}
\end{align*}
さて、ここで連続の方程式と見比べてみます。ただし、係数はまだ決めていないのでとりあえず$A$とおいて、
\begin{align}
&\dfrac{\partial }{\partial t}\rho &+&\nabla\cdot \boldsymbol{j}&=0 \tag{\ref{eq-quantum15:2}}\\
&\dfrac{\partial}{\partial t}\left\{A\left(\phi^*\dfrac{\partial \phi}{\partial t}-\dfrac{\partial \phi^*}{\partial t}\phi\right)\right\}&+&\nabla\cdot c^2\left\{(\nabla\phi^*)\phi-\phi^*\nabla\phi\right\} &=0 \label{eq^quantum15:5}
\end{align}
そこで以下のように書き直せます。
\begin{align}
\rho&= A\left(\phi^*\dfrac{\partial \phi}{\partial t}-\dfrac{\partial \phi^*}{\partial t}\phi\right) \label{eq-quantum15:6}\\
\boldsymbol{j}&=Ac^2((\nabla\phi^*)\phi-\phi^*\nabla\phi) \label{eq-quantum15:7}
\end{align}
さて、ここで、なんとなく形が似ていることがわかります。相対性理論では時間も空間も同等に扱いたいので形が似ていることは非常に好都合です。ここからさらにまとめにかかります。
相対論的に連続の式を書き直す
流れの書き直し
上で求めた流れの式を書き直しましょう。まずは$\rho$について、\eqref{eq-quantum15:6}を時間微分を光速度$c$を含めて長さの微分として書き直します。\begin{align*}
\rho=Ac\left(\phi^*\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \phi^*}{\partial t}\phi \right)
\end{align*}
また、$\partial^\mu=(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},-\nabla)$なので、\eqref{eq-quantum15:6},\eqref{eq-quantum15:7}を書き直すと、
\begin{align*}
\rho&=Ac(\phi^*\partial^0\phi-(\partial^0\phi^*)\phi) \\
j^k&=Ac^2((-\partial^k \phi^*)\phi-\phi^*(-\partial^k\phi)) \\
&=Ac^2(\phi^*\partial^k \phi-(\partial^k\phi^*)\phi)
\end{align*}
空間成分の符号が入れ替わることに注意してください。今この式をまったく同じような形で表記したいのに、時間成分の光速度の係数が足りません。これは以下で示す都合です。
連続の式の相対論的書き直し
連続の方程式の時間微分は相対論的には空間の項と同等に扱うために、光速度を付けたほうがよいでしょう。\begin{align*}
\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}(\rho c)+\nabla\cdot \boldsymbol{j}=0
\end{align*}
これをまとめると、$\partial_\mu=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla\right)$なので、4元流$j^\mu$を定義して、以下のように表せるでしょう。
\begin{align*}
j^\mu&=(\rho c, \boldsymbol{j}) \\
\partial_\mu j^\mu&=0
\end{align*}
このように定めると$j^\mu$は、
\begin{align*}
j^\mu=Ac^2\left\{\phi^*\partial^\mu \phi-(\partial^\mu \phi^*)\phi\right\}
\end{align*}
となります。
確率流として解釈できない理由
シュレディンガー方程式では確率密度関数を波動関数$\psi$に対して$|\psi|^2$と考えていました。これは確率の公理のひとつである非負という条件を勝手にクリアしています。ただし、今回考えた$\rho$は\begin{align*}
\rho=Ac(\phi^*\partial^0\phi-(\partial^0\phi^*)\phi)
\end{align*}
というわけで定数$A$をどうとったとしても正負両方を取りうることになり、確率解釈は不適切なわけです。この原因が時間の2階微分にあると考えて次の記事で1階微分の方程式を考えます。