量子力学⑭ ハイゼンベルクの運動方程式
ハイゼンベルク方程式の導出
ハイゼンベルク表示(描像)を紹介したので、その描像での運動方程式を紹介します。ハイゼンベルク方程式とは？
ハイゼンベルクの運動方程式
ハイゼンベルク表示の物理量演算子$A^{(H)}$について、ハミルトニアン$H$を用いて、
\begin{align}
\dfrac{dA^{(H)}}{dt}=\dfrac{[A^{(H)},H]}{ih} \label{eq:1}
\end{align}
時間発展演算子でシュレディンガー描像と結びつける
シュレディンガー表示での物理量$A^{(S)}$とハイゼンベルク表示での物理量$A^{(H)}$には時間発展演算子$\hat{U}=\exp{\left(-\dfrac{i\hat{H}}{\hbar}t\right)}$に対して、\begin{align}
A^{(H)}=\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}
\end{align}
と表されます。まずはこの式を導出します。まず、シュレディンガー表示では時間変化は状態ケットに含まれているので、
\begin{align}
\ket{\psi}_S=\hat{U}\ket{\psi}_H \label{eq:3}
\end{align}
と表せます。添え字は$S$はシュレディンガー表示、$H$はハイゼンベルク表示ということを示しています。ここで、\eqref{eq:3}式の辺々の随伴を取ります。ケットベクトルの随伴はブラベクトルで、積は順番が入れ替わるので、
\begin{align}
_S\bra{\psi}= {}_H\bra{\psi}\hat{U}^\dagger \label{eq:4}
\end{align}
となります。いまシュレディンガー表示の物理量$A^{(S)}$の期待値を考えます。\eqref{eq:3},\eqref{eq:4}式を用いれば、その期待値は以下のように変形できます。
\begin{align}
_S\braket{\psi|A^{(S)}|\psi}_S= {}_H\braket{\psi|\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}|\psi}_H \label{eq:5}
\end{align}
ここで、どちらの表示を用いても期待値は変わってはいけない、ということを考えると、
\begin{align}
_S\braket{\psi|A^{(S)}|\psi}_S={}_H\braket{\psi|A^{(H)}|\psi}_H \label{eq:6}
\end{align}
となるはずなので、\eqref{eq:5},\eqref{eq:6}式を比較すると、
\begin{align}
_H\braket{\psi|A^{(H)}|\psi}_H={}_H\braket{\psi|\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}|\psi}_H
\end{align}
ここで、辺々の演算子部分を比較すれば、
\begin{align}
A^{(H)}=\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U} \label{eq:8}
\end{align}
となります。これがハイゼンベルク表示とシュレディンガー表示の関係ですね。
時間微分を計算して運動方程式を導出する
\eqref{eq:8}式を時間微分してみます。積の微分法を用いればよくて、\begin{align}
\dfrac{dA^{(H)}}{dt}&=\dfrac{d\hat{U}^\dagger}{dt}A^{(S)}\hat{U}+\hat{U}^\dagger \dfrac{dA^{(S)}}{dt}\hat{U}+\hat{U}^\dagger A^{(S)}\dfrac{d\hat{U}}{dt}\\
\end{align}
となりますが、時間発展演算子が$\hat{U}=\exp{\left(-\dfrac{i\hat{H}}{\hbar}t\right)}$というよ言うに表されることとシュレディンガー表示の演算子が基本的に時間依存せず時間微分が0になることを考えれば、
\begin{align}
\dfrac{dA^{(H)}}{dt}=\dfrac{i\hat{H}}{\hbar}\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}+\hat{U}^\dagger A^{(S)}\left(-\dfrac{i\hat{H}}{\hbar}t\right)\hat{U}\label{eq:10}
\end{align}
指数関数型の演算子の計算方法
時間発展演算子は\begin{align}
\hat{U}=\exp{\left(-\dfrac{i\hat{H}}{\hbar}t\right)}
\end{align}
と表されました。つまりハミルトニアン演算子は指数にあります。これをどう計算するか?というのがここでの問題ですが、それはマクローリン展開で対処します。つまり、
\begin{align}
\hat{U}=\hat{1}+\left(-\dfrac{i\hat{H}t}{\hbar}\right)+\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{i\hat{H}}{\hbar}\right)^2+\cdots \label{eq:11}
\end{align}
というわけです。
\eqref{eq:10}式の計算方法
\eqref{eq:11}式を用いれば、時間発展演算子とハミルトニアンが交換することがわかります。つまり、\begin{align}
\hat{U}\hat{H}=\hat{H}\hat{U}\label{eq:12}
\end{align}
ということです。このとき\eqref{eq:10}式は、
\begin{align}
\dfrac{dA^{(H)}}{dt}
&=\dfrac{i\hat{H}}{\hbar}\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}-\dfrac{i}{\hbar}\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}\hat{H}\nonumber \\
&=\dfrac{i}{\hbar}\left\{\hat{H}\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}-\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}\hat{H}\right\}\nonumber\\
&=-\dfrac{1}{i\hbar}\left\{\hat{H}\left(\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}\right)-\left(\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}\right)\hat{H}\right\}\nonumber\\
&=\dfrac{1}{i\hbar}\left\{\left(\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}\right)\hat{H}-\hat{H}\left(\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U}\right)\right\}\nonumber\\
&=\dfrac{1}{i\hbar}\left[\hat{U}^\dagger A^{(S)}\hat{U},\hat{H}\right] \label{eq:14}
\end{align}
ここで、\eqref{eq:8}式を用いると、\eqref{eq:14}式は、
\begin{align}
\dfrac{dA^{(H)}}{dt}=\dfrac{1}{i\hbar}\left[A^{(H)},\hat{H}\right] \label{eq:15}
\end{align}
これがハイゼンベルクの運動方程式\eqref{eq:1}式です。
ハミルトニアンはハイゼンベルク表示か?シュレディンガー表示か?
ハミルトニアンはハイゼンベルク表示かシュレディンガー表示か考えましょう。結論を言えばどっちでも変わらないです。ハイゼンベルク表示とシュレディンガー表示の関係を式に表すと、\begin{align}
\hat{H}^{(H)}=\hat{U}^\dagger \hat{H}^{(S)}\hat{U}
\end{align}
となりますが、\eqref{eq:12}式よりハミルトニアンは交換し、時間発展演算子のユニタリー性$\hat{U}^\dagger \hat{U}=\hat{U}\hat{U}^\dagger=\hat{1}$を利用すれば、ハイゼンベルク表示でもシュレディンガー表示でもハミルトニアンは変わらないことがわかります。