量子力学 ⑯補足① パウリ方程式
荷電粒子のハミルトニアンをディラック方程式に適用する
荷電粒子のハミルトニアンは解析力学の記事で導出したように、以下のように表されます。電荷を$q$、ベクトルポテンシャルを$\boldsymbol{A}$,スカラーポテンシャルを$\phi$として、\begin{align}
\hat{H}=\dfrac{1}{2m}\left(\hat{\boldsymbol{p}}-q\boldsymbol{A}\right)^2+q\phi \label{eq-quantum161:1}
\end{align}
と表されました。また、共役運動量$\boldsymbol{\hat{p}}$は、
\begin{align}
\boldsymbol{\hat{p}}=m\boldsymbol{\dot{r}}+q\boldsymbol{A} \label{eq-quantum161:2}
\end{align}
と表されました。
ディラック方程式の由来となるエネルギー表式
もとの相対論的エネルギーは？
ディラック方程式は\begin{align}
E=c\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}+\beta mc^2 \label{eq-quantum161:3}
\end{align}
という式から出発して導出しました。ただし、ここでの$\boldsymbol{\hat{p}}$と$E$は、それぞれ以下のように演算子化されています。
\begin{align}
\hat{E} &= i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}-q\phi \label{eq-quantum161:4}\\
\boldsymbol{\hat{p}}&=-i\hbar\nabla -q\boldsymbol{A} \label{eq-quantum161:5}
\end{align}
演算子化の根拠
さて、なぜこんな複雑な演算子化をするのか？電磁場中のハミルトニアン\eqref{eq-quantum161:1}と共役運動量\eqref{eq-quantum161:2}を参考にして...もっと正確には電磁場の相互作用のゲージ不変性のためにこのように演算子化すると考えることができます。少し先の結果を前借することにしてゲージ変換と共変微分の記事で定義している共変微分は、
\begin{align*}
i\hbar D^\mu=\left(\dfrac{1}{c}\left(i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}-q\phi\right),(-i\hbar\nabla)-q\boldsymbol{A}\right)
\end{align*}
となり、これを使えば上で示したような演算子の表現になるでしょう。
ディラック方程式の演算子を書き直す
前回は\eqref{eq-quantum161:3}の$\alpha$,$\beta$をKlein-Gordon方程式を満たすように決定しました。よって、\eqref{eq-quantum161:3}をさらに変形しましょう。$\psi$をつけて演算子化します。\eqref{eq-quantum161:4},\eqref{eq-quantum161:5}を用いて書いておくと、\begin{align*}
\left(i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} -q\phi\right)\psi=\left\{c\boldsymbol{\alpha}\cdot \left(-i\hbar\nabla-q\boldsymbol{A}\right)+\beta mc^2\right\}\psi
\end{align*}
左辺にすべて寄せておきます。また、共役運動量は長いのでそのまま$\boldsymbol{\hat{p}}$もとにもどしておきます。
\begin{align}
\left(i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}-c\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}-\beta mc^2-q\phi\right)\psi=0 \label{eq-quantum161:6}
\end{align}
非相対論極限でシュレディンガー方程式の形に
非相対論的極限を取ればシュレディンガー方程式が導かれるはずです。つまり、非相対論的極限で正しい式になっていることを確認します。シュレディンガー方程式との違い
シュレディンガー方程式で定められる波動関数とディラック方程式で定められるスピノルには決定的な違いがあって、仮定していたエネルギーに静止エネルギーを含むか含まないかの違いがあります。運動量を$p$に対し、\begin{align*}
E_S&=\dfrac{p^2}{2m} \\
E_D&=\gamma mc^2\approx mc^2+\dfrac{p^2}{2m\\}
\end{align*}
というわけで、シュレディンガー方程式の波動関数$\varphi$は、比例定数は気にしなければ
\begin{align*}
\varphi=e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\frac{E_S}{\hbar}t\right)}
\end{align*}
という形から導かれていました。また、ディラック方程式のスピノル$\psi$は、あくまで4成分からなるスピノルなので正確な表現ではないですが、静止エネルギーが加わった分も考慮して以下のような形になると考えていてもいいでしょう。
\begin{align*}
\psi\approx e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\frac{E_D}{\hbar}t\right)}=e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\frac{E_S}{\hbar}t\right)}=e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\varphi
\end{align*}
とスピノル$\psi$の関係から静止エネルギーをうまく調節するように考えてみましょう。
スピノルの形を仮定してみる。
以下のようにスピノルを仮定します。\begin{align}
\psi=e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\begin{pmatrix}\kappa\\ \chi
\end{pmatrix}
\end{align}
ここで、指数部分はディラック方程式の全体の共通の静止エネルギーを除くためです。また、$\kappa,\chi$はそれぞれ2成分の合計4成分です。また、後半のスピノルについて、時間微分を取ればシュレディンガー方程式でいうところの非相対論極限では運動エネルギーが小さいので、\eqref{eq-quantum161:6}より、仮定したスピノルを代入すると
\begin{align*}
\left[\left(i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}-q\phi\right)-c\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}-mc^2\beta\right]e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\begin{pmatrix}\kappa \\ \chi\end{pmatrix}
\end{align*}
ここで、行列は行列に直してあげましょう。$\hat{1}$を$2\times 2$の単位行列として、
\begin{align*}
\beta&=\begin{pmatrix} \hat{1} & 0 \\ 0 & -\hat{1} \end{pmatrix}\\
\alpha^j&=\begin{pmatrix} 0 & \sigma^j\\ \sigma^j & 0\end{pmatrix}
\end{align*}
と表されたので、ディラック方程式は以下のように書きなおせます。
\begin{align*}
\left\{i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}-q\phi-c\begin{pmatrix}0 & \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\\ \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}} & 0\end{pmatrix}-mc^2\begin{pmatrix}\hat{1}& 0\\ 0 & -\hat{1}\end{pmatrix}\right\}e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\begin{pmatrix} \kappa \\ \chi\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
さて、行列の計算を思い出せば、$2\times 2$の行列に2成分縦ベクトルをかければ、2成分縦ベクトルになるので、
\begin{align*}
\left\{i\hbar e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\dfrac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}\kappa \\ \chi \end{pmatrix}
+mc^2 e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\begin{pmatrix}\kappa \\ \chi \end{pmatrix}-q\phi e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\begin{pmatrix}\kappa \\ \chi \end{pmatrix}-c\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}} e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\begin{pmatrix}\chi \\ \kappa \end{pmatrix}-mc^2 e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\begin{pmatrix}\kappa \\ -\chi \end{pmatrix}\right\}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
1行目に関しては第二項と第五項が相殺します。共通因子をくくりだして、
\begin{align}
e^{-i\frac{mc^2}{\hbar}t}\begin{pmatrix}i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\kappa -q\phi \kappa -c\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\chi\\
i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\chi+2mc^2\chi-q\phi\chi-c\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\kappa \end{pmatrix}=\boldsymbol{0} \label{eq-quantum161:8}
\end{align}
つまり、二つの方程式が得られたことになります。
非相対論的極限をとる
先ほど得られた式の二つめの式に注目します。二つ目の式から触れてみます。また、共変微分の話を意識して、時間微分とスカラーポテンシャルの項をまとめています。\begin{align}
\left(i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}-q\phi\right)\chi+2mc^2\chi-c\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\kappa=0
\end{align}
非相対論的極限を考えるので、運動エネルギーは静止エネルギーに比べて十分小さく無視できます。ポテンシャルエネルギーも運動エネルギーと同じスケールの大きさで考えれば十分なので、ポテンシャルエネルギーも無視してよいでしょう。もっと正確には共変微分の第0成分は無視してもよいでしょう。というわけで、後半2項のみが残り、
\begin{align}
2mc\chi=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\kappa \label{eq-quantum161:10}
\end{align}
という関係になります。さて、これを使って\eqref{eq-quantum161:8}式の一つ目の式にから$\chi$を消してやります。さて、本題に戻りましょう。\eqref{eq-quantum161:8}の1つ目
\begin{align}
i\hbar\dfrac{\partial\kappa}{\partial t}-q\phi\kappa-c\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\chi=0 \tag{\ref{eq-quantum161:8}-1}
\end{align}
と\eqref{eq-quantum161:10}から$\chi$を消去します。
\begin{align}
\left\{i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}-q\phi-\dfrac{(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}})^2}{2m}\right\}\kappa=0 \label{eq-quantum161:11}
\end{align}
ベクトル解析の公式を利用して計算する
\begin{align*}
\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{x}\right)\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{y}\right)=\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}+i\boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\right)
\end{align*}
を用いれば、
\begin{align*}
\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\right)\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\right)=(-i\hbar\nabla-q\boldsymbol{A})^2-q\hbar\boldsymbol{\sigma}\cdot\ \left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)
\end{align*}
となります。また、
\begin{align*}
\boldsymbol{B}=\nabla\times \boldsymbol{A}
\end{align*}
を用いて、
\begin{align}
\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\right)\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\hat{p}}\right)=(-i\hbar\nabla-q\boldsymbol{A})^2-q\hbar\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\hat{p}}^2-q\hbar\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{B} \label{eq-quantum161:12}
\end{align}
となります。
シュレディンガー方程式との比較
\eqref{eq-quantum161:12}式を用いて、\eqref{eq-quantum161:11}を変形すると、\begin{align}
i\hbar\dfrac{\partial\kappa}{\partial t}=\left\{\dfrac{1}{2m}(\boldsymbol{\hat{p}}-q\boldsymbol{A})^2+q\phi-\dfrac{q\hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{B}\right\}\kappa \label{eq-quantum161:13}
\end{align}
となります。以下のシュレディンガー方程式と比較してみます。
\begin{align}
i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial t}=\left(\dfrac{\boldsymbol{\hat{p}}^2}{2m}+V(x)\right)\psi\label{eq-quantum161:14}
\end{align}
この\eqref{eq-quantum161:13}式の右辺の前半は\eqref{eq-quantum161:1}で示した荷電粒子のハミルトニアンとなりますが、\eqref{eq-quantum161:14}式を比較すれば新たなエネルギー項として、
\begin{align}
-\dfrac{q\hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{B}\label{eq-quantum161:15}
\end{align}
が現れたことがわかります。この項は実はスピンによるものです。
ボーア磁子、g因子とディラック方程式の関係
今出てきたスピンをふくむエネルギー項\eqref{eq-quantum161:15}式について、電気素量を$e$として考えます。さて、いままで荷電粒子の角運動量$\boldsymbol{L}$に対して、エネルギーが
\begin{align*}
-\dfrac{e\hbar}{2m}\dfrac{\boldsymbol{L}}{\hbar}\cdot\boldsymbol{B}
\end{align*}
というように表されたのでこの係数をボーア磁子とおいていたのでした。
ボーア磁子
\begin{align*}
\mu_B=\dfrac{e\hbar}{2m}
\end{align*}
\begin{align}
-\dfrac{e\hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{B}
=-\dfrac{e}{m}\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{B}
=-\dfrac{e\hbar}{m}\dfrac{\boldsymbol{S}}{\hbar}\cdot\boldsymbol{B}=-2\mu_B\dfrac{\boldsymbol{S}}{\hbar}\cdot\boldsymbol{B}
\end{align}
となり、スピンに関してはボーア磁子の整数倍になるという関係が崩れてしまったので、
\begin{align}
g\dfrac{\mu_B\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{B}}{\hbar}
\end{align}
とおいて、普通の角運動量(軌道角運動量)ときには$g=1$,スピン角運動量のときには$g=2$とします。この定数$g$を$g$因子といいます。