偏微分方程式⑦ グリーン関数法
グリーン関数とは?フーリエ変換との関係
\begin{align}
\mathcal{D}\psi=-f(x) \label{pde7eq:1}
\end{align}
を考えます．このとき，
\begin{align}
\mathcal{D}G(x-y)=-\delta(x-y) \label{eq:2}
\end{align}
を満たす関数$G$をグリーン関数といいます．と，その前に前提となる知識を紹介しておきます．
畳み込み(Convolution)積分の定義と性質
\begin{align}
f*g\stackrel{def}{=}\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy
\end{align}
という式を畳み込み積分といいます．余談ですが，畳み込み積分のフーリエ変換は互いのフーリエ変換の積になります．つまり，
\begin{align}
\mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\mathcal{F}[g]
\end{align}
ということです．ちなみに逆に
\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}[f]*\mathcal{F}[g])=fg
\end{align}
も成り立ちます．
デルタ関数の性質
デルタ関数とは，引数が0のときのみ無限大で，他のときは0という関数でした．ただし，\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1
\end{align}
となっています．ちょっと怪しい条件なので...嫌われている条件でもあります．そして，デルタ関数の畳み込み積分を計算すると，
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\delta(y)dy=f(x) \label{eq:7}
\end{align}
というようにデルタ関数の引数が0になるときの他方の関数の値がそのまま出てきます．
グリーン関数法について詳しく調べてみる
さて，グリーン関数とは以下の式を満たす$G$でした．\begin{align}
\mathcal{D}G(x,y)=-\delta(x-y) \tag{\ref{eq:2}}
\end{align}
ただし，この微分作用素は
\begin{align}
\mathcal{D}\psi=-f(x)
\end{align}
という元々の微分方程式由来でした．さて，\eqref{eq:2}の辺々に$f(y)$をかけます．$f(y)$は$x$の関数ではないので，微分作用素$\mathcal{D}$には影響されません．というわけで，微分作用素の中に入れましょう．
\begin{align}
\mathcal{D}f(y)G(x,y)=-\delta(x-y)f(y)
\end{align}
この辺々を$y$で積分してみましょう．\eqref{eq:7}より，
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty \mathcal{D}f(y)G(x,y)dy=-\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(y)dy=-f(x)
\end{align}
さて，先ほどもあったように微分作用素$\mathcal{D}$は元々の方程式にあった$x$の微分のみを含み，$y$の関数にはかかりませんでした．つまり，$y$の積分と微分作用素$\mathcal{D}$はやはり入れ替え可能で，
\begin{align}
\mathcal{D}\int_{-\infty}^\infty f(y)G(x-y)dy=-f(x)
\end{align}
元々の微分方程式は，
\begin{align}
\mathcal{D}\psi=-f(x) \tag{\ref{pde7eq:1}}
\end{align}
だったので，
\begin{align}
\psi=\int_{-\infty}^\infty f(y)G(x-y)dy=f*G \label{eq:12}
\end{align}
ということになります．これがまさに求めたかった解ですね．つまり，グリーン関数を求められれば解が畳み込みで計算できそうです．
実際にグリーン関数を求めてみる
何度も書きますが，グリーン関数は\begin{align}
\mathcal{D}G(x,y)=-\delta(x-y) \tag{\ref{eq:2}}
\end{align}
でした．この$G$を求めたいのですが...こんな時に役立つのがフーリエ変換ですね．微分というのはフーリエ変換すれば簡単になります．たとえば，$x\to k$のように波数空間にうつすフーリエ変換だと考えれば，
\begin{align}
\mathcal{F}\left[\dfrac{\partial \psi}{\partial x}\right]=ik\mathcal{F}[\psi]
\end{align}
というように微分を除いた関数に変換先の文字(今回でいえば波数$k$)と虚数単位をかけたものになります．というわけで，\eqref{eq:2}は微分を含んでいても割と簡単にフーリエ変換できそうです．
さらにデルタ関数のフーリエ変換は簡単で，先頭につく定数は定義によって異なるので考えない(1にする)ことにすれば，
\begin{align}
\mathcal{F}[\delta(x-y)]=\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)e^{-ikx}dx=e^{-iky}
\end{align}
となります．つまり，$\mathcal{F}[\mathcal{D}G(x-y)]=\mathcal{D}^\prime (k)\mathcal{F}[G(x-y)]$とすれば，
\begin{align}
\mathcal{D}^\prime(k)\mathcal{F}[G(x-y)]=-e^{-iky}
\end{align}
この式から$\mathcal{F}[G(x-y)]$を求めて，逆変換すれば，グリーン関数が求まるでしょう．そして最後に，\eqref{eq:12}を利用すれば，元の解が求まりますね．だた，偏微分方程式では複数の変数を含んでいるので，$\mathcal{D}^\prime(k)$は,$x$以外の微分項などを含んでいる可能性もあります．が、そうなってくると計算できなくなるかも…