電磁気学② クーロンの法則の導出
クーロンの法則をマクスウェル方程式・クーロン力の式から導出
クーロンの法則はクーロン力の式とマクスウェル方程式から導くことができます。このサイトではマクスウェル方程式とクーロン力の式を基本となる方程式としていたので、これらの式のみを用いてクーロンの法則を導出します。まずこれから導く式を先に紹介します。
クーロンの法則と電場の関係
クーロンの法則
位置$ \boldsymbol{r} $にある点電荷$ q $に、位置$ \boldsymbol{r^\prime}$にある点電荷$ q^\prime $が及ぼす力$ \boldsymbol{F} $は、誘電率$\varepsilon$を用いて、
\begin{align}
\boldsymbol{F}=\dfrac{qq^\prime}{4\pi\varepsilon \left|\boldsymbol{r-r^\prime}\right|^2}\dfrac{\boldsymbol{r-r^\prime}}{\left|\boldsymbol{r-r^\prime}\right|}
\end{align}
と表わされます。
電荷が作り出す電場
電場中にある電荷にはたらく力は、クーロン力の式で$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}$として、\begin{align}
\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{E}
\end{align}
というように電場中にある電荷$ q $の電荷にはたらく力をその電荷$ q $で割ったものをさします。ちなみに、電荷が連続的な場合には電場は、
\begin{align}
E(\boldsymbol{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{\text{全空間}}\dfrac{\rho(\boldsymbol{r^\prime})}{|\boldsymbol{r-r^\prime}|^2}d^3{\boldsymbol{r^\prime}}
\end{align}
となります。(これもこの後の導出で分かります)なので、この電場からはたらく力を求める必要があります。電位の定義と電場との関係
電場を定義したついでに電位も定義しておきます。位置$\boldsymbol{r^\prime}$の電位は電場の線積分を用いて表され、逆に電場は電位の勾配(gradient)で表せます。電位と電場の関係
\begin{align}
\phi (\boldsymbol{r})&= -\int_{\text{基準}}^\boldsymbol{r}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}^\prime)\cdot d\boldsymbol{r}^\prime\\
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})&=-\nabla \phi(\boldsymbol{r}) \label{eq:5}
\end{align}
\begin{align}
\boldsymbol{F}=-\nabla U
\end{align}
という関係があったのととても似ています。そこで、静電ポテンシャルと言われたり、もしくは単純にポテンシャルと言われたりします。
クーロンの法則のマクスウェル方程式からの導出
誘電率が一定の場合を考えることにします。もちろん、$\varepsilon=\varepsilon_0$とすれば真空を考えることと同じです。この状況下でポアソン方程式を導出します。ポアソン方程式の導出
ポアソン方程式
\begin{align}
\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r})=-\dfrac{\rho(\boldsymbol{r})}{\varepsilon} \label{eq:7}
\end{align}
\begin{align}
\nabla\cdot\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\dfrac{\rho(\boldsymbol{r})}{\varepsilon} \label{eq:9}
\end{align}
を考えます。ここで、電位$ \phi $は、
\begin{align}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=-\nabla \phi(\boldsymbol{r}) \label{eq:8}
\end{align}
と表されました。\eqref{eq:9},\eqref{eq:8}式から$ \boldsymbol{E}$を消去すると、ポアソン方程式が導かれます。この偏微分方程式を解きたいわけですが...Green関数法という方法で解くことにします。
グリーン関数法を用いる。グリーン関数とは?
グリーン関数
微分演算子$\mathcal{D}$について、
\begin{align*}
\mathcal{D}f(x)=g(x)
\end{align*}
という微分方程式に対して、
\begin{align*}
\mathcal{D}G(x,x^\prime)=-\delta(x-x^\prime)
\end{align*}
を満たす関数$G$をグリーン関数という。ただし、$\delta(x)$はデルタ関数です。
\begin{align}
\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r})=-\dfrac{\rho(\boldsymbol{r})}{\varepsilon} \tag{\ref{eq:7}}
\end{align}
に関しては、$\mathcal{D}=\nabla^2$なので、
\begin{align}
\nabla^2 G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r^\prime})=-\delta(\boldsymbol{r-r^\prime}) \label{eq:10}
\end{align}
この式を満たすような関数$G$が存在するとき、
\begin{align}
\phi(\boldsymbol{r})=\dfrac{1}{\varepsilon}\int_{\text{全範囲}} G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r^\prime})\rho(\boldsymbol{r^\prime})d^3\boldsymbol{r^\prime} \label{eq:11}
\end{align}
が解になります。この辺々に$\nabla^2$を作用させると、右辺は$G$にしか$\nabla$は作用しないので、\eqref{eq:10}式を用いれば、
\begin{align}
\nabla^2\phi(\boldsymbol{r})&=\dfrac{1}{\varepsilon}\int_{\text{全範囲}}\nabla^2 G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r^\prime})\rho(\boldsymbol{r^\prime})d^3\boldsymbol{r^\prime}\nonumber \\
&=-\dfrac{1}{\varepsilon}\int_{\text{全範囲}}\delta(\boldsymbol{r-r^\prime})\rho(\boldsymbol{r^\prime})d^3{\boldsymbol{r}^\prime}\nonumber \\
&=-\dfrac{\rho(\boldsymbol{r})}{\varepsilon}
\end{align}
つまり\eqref{eq:10}式のような関係があれば容易に解が導けるということです。では、\eqref{eq:7}式からグリーン関数$G$を求めましょう。
フーリエ変換でグリーン関数を求める
\begin{align}
\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r})=-\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^\prime}) \tag{\ref{eq:10}}
\end{align}
の両辺をフーリエ変換します。微分の項は微分する代わりに$i\boldsymbol{k}$をかければよく、
\begin{align}
-\boldsymbol{k}^2\mathcal{F}\left[G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r^\prime})\right]=e^{-i\boldsymbol{k\cdot r^\prime}} \nonumber\\
\therefore \mathcal{F}\left[G(\boldsymbol{r-r^\prime})\right]=-\dfrac{e^{-i\boldsymbol{k\cdot r^\prime}}}{\boldsymbol{k}^2} \label{eq:13}
\end{align}
\eqref{eq:13}式を逆変換すると、
\begin{align}
G(\boldsymbol{r-r^\prime})=-\dfrac{1}{(2\pi)^3}\int_{\text{全空間}}\dfrac{1}{\boldsymbol{k}^2}e^{i\boldsymbol{k\cdot (r-r^\prime)}}d^3\boldsymbol{k}\label{eq:14}
\end{align}
さて、分母に$\boldsymbol{k}$が現れているのが邪魔で、これ以上計算を進めることができませんね。これをどうにかしたいのですが、ここで使う手段は変数変換です。球座標に変換します。
球座標へヤコビアンを用いて変数変換をおこなう
$$
\left\{
\begin{align}
k_x&=k \sin{\theta}\cos{\phi}\\
k_y&=k \sin{\theta}\sin{\phi}\\
k_z&=k \cos{\theta}
\end{align}
\right.
$$
このときのヤコビアンは、
$$
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial k_x}{\partial k}&\dfrac{\partial k_x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial k_x}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial k_y}{\partial k}&\dfrac{\partial k_y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial k_y}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial k_z}{\partial k}&\dfrac{\partial k_z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial k_z}{\partial \phi}\\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\sin{\theta}\cos{\phi} & k\cos{\theta}\cos{\phi} & -k\sin{\theta}\sin{\phi}\\
\sin{\theta}\sin{\phi} & k\cos{\theta}\sin{\phi} & k\sin{\theta}\cos{\phi}\\
\cos{\theta} & -k\sin{\theta} & 0
\end{vmatrix}\\
$$
これをサラスの方法で計算すると、
\begin{align*}
&
k^2\sin^3{\theta}\sin^2{\phi}+k^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\cos^2{\phi}+k^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\sin^2{\phi}+k^2\sin^3{\theta}\cos^2{\phi}\\
&=
k^2\sin^3{\theta}(\sin^2{\phi}+\cos^2{\phi})+k^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}(\sin^2{\phi}+\cos^2{\phi})\\
&=k^2\sin^3{\theta}+k^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\\
&=k^2\sin{\theta}(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})\\
&=k^2\sin{\theta}\\
\end{align*}
となり、微小素片の関係は、
\begin{align}
d^3\boldsymbol{k}=k^2\sin{\theta}\ dkd\theta d\phi
\end{align}
となります。ちなみに、$\boldsymbol{k}^2$というのはただの絶対値の二乗と同じなので、これは$ k^2 $で、これを用いると\eqref{eq:14}式は、
\begin{align}
G(\boldsymbol{r-r^\prime})=-\dfrac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty\left\{ \int_0^{2\pi} \left(\int_0^\pi e^{i\boldsymbol{k\cdot( r-r^\prime)}}\sin{\theta}d\theta\right)d\phi\right\}dk \label{eq:19}
\end{align}
ここで、指数部分をどうするかが問題なのですが、今考えている空間は対称的(どの方向に軸を取っても一般性を失わない)で、$\boldsymbol{r,r^\prime}$は固定して考えているので、$\boldsymbol{e}_\theta$が$\boldsymbol{r-r^\prime}$となす角度が$\theta$になるように取ることにすると、$\boldsymbol{k\cdot( r-r^\prime)}=|k||r-r^\prime|\cos{\theta}$となります。ここで、$w=\cos{\theta}$とおけば、$dw=-\sin{\theta}d\theta$で、積分範囲は$1\to -1$なので、\eqref{eq:19}式は、
\begin{align}
G(\boldsymbol{r-r^\prime})&=-\dfrac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk \int_0^{2\pi}d\phi \int_{-1}^1 dw\ e^{iw|k||r-r^\prime|}\nonumber \\
&=-\dfrac{2}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk \int_0^{2\pi}d\phi \dfrac{\sin{k|r-r^\prime|}}{k|r-r^\prime|}\nonumber \\
&=-\dfrac{4\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk \dfrac{\sin{k|r-r^\prime|}}{k|r-r^\prime|}\nonumber \\
&=-\dfrac{1}{2\pi^2|r-r^\prime|}\int_0^\infty \dfrac{\sin{t}}{t}dt\label{eq:20}
\end{align}
最後に残った積分はディリクレ積分という積分で、複素解析の範囲で解くことができます。今回は詳細な計算は省略しますが、
\begin{align}
\int_0^\infty \dfrac{\sin{t}}{t}dt=\dfrac{\pi}{2}\label{eq:21}
\end{align}
という結果が得られます。\eqref{eq:20},\eqref{eq:21}式をまとめると、
\begin{align}
G(\boldsymbol{r-r^\prime})=-\dfrac{1}{4\pi|r-r^\prime|} \label{eq:22}
\end{align}
グリーン関数から電位と電場を求める
この\eqref{eq:22}式を\eqref{eq:11}式に代入して、\begin{align}
\phi(\boldsymbol{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{\text{全空間}}\dfrac{\rho(\boldsymbol{r^\prime})}{\left|\boldsymbol{r-r^\prime}\right|}d^3\boldsymbol{r^\prime} \label{eq:23}
\end{align}
これで、電位が求まりました。この\eqref{eq:23}式を\eqref{eq:5}式に代入すれば、
\begin{align}
\boldsymbol{E(r)}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{\text{全空間}}\dfrac{\rho(\boldsymbol{r^\prime})\boldsymbol{e_{r^\prime\to r}}}{|\boldsymbol{r-r^\prime}|^2}d^3{\boldsymbol{r^\prime}} \label{eq:24}
\end{align}
となりこれで連続的な電荷による電場の式が導けました。(ただし、$\boldsymbol{e_{r^\prime\to r}}$は位置$\boldsymbol{r^\prime}$から$\boldsymbol{r}$に向かう単位ベクトル)
点電荷をデルタ関数を用いて表す
\eqref{eq:24}式で\begin{align}
\rho(\boldsymbol{r^\prime})=q^{\prime\prime}\delta(\boldsymbol{r^\prime-r^{\prime\prime}})\label{eq:25}
\end{align}
とすれば、位置$\boldsymbol{r^{\prime\prime}}$に点電荷$q^{\prime\prime}$が存在することを再現できます。\eqref{eq:25}式を\eqref{eq:24}式に代入すれば、
\begin{align}
\boldsymbol{E(r)}=\dfrac{q^{\prime\prime} \boldsymbol{e_{r^{\prime\prime}\to r}}}{4\pi\varepsilon |\boldsymbol{r-r^{\prime\prime}}|}
\end{align}
つまり、位置$\boldsymbol{r}$にある点電荷$q$にはたらく力$\boldsymbol{F_{r^{\prime\prime}\to r}}$は
\begin{align}
\boldsymbol{F_{r^{\prime\prime}\to r}}&=q\boldsymbol{E(r)}\nonumber \\
&=\dfrac{qq^{\prime\prime} \boldsymbol{e_{r^{\prime\prime}\to r}}}{4\pi\varepsilon |\boldsymbol{r-r^{\prime\prime}}|}\nonumber \\
&=\dfrac{qq^{\prime\prime}}{4\pi\varepsilon | \boldsymbol{r-r^{\prime\prime}}|^2}\dfrac{\boldsymbol{r-r^{\prime\prime}}}{|\boldsymbol{r-r^{\prime\prime}}|}\label{eq:27}
\end{align}
そしてこの\eqref{eq:27}式が点電荷に関してのクーロンの法則になります。