固体物理② 逆格子空間の定義と逆格子ベクトル
逆格子ベクトル・逆格子空間の意味とは?
周期的構造を利用してフーリエ級数展開・逆格子空間へ
さて，複素フーリエ級数展開の記事で紹介した通り複素フーリエ展開は，周期を$L$とすれば，\begin{align*}
f(x)&=\sum_{n=1}^\infty c_n\exp{\left(i\dfrac{2\pi n}{L}x\right)}
\end{align*}
と展開できるわけですが，ここで$f(x)$が周期$L$の周期的関数になるということは\begin{align*}
f(x+L)=f(x)
\end{align*}
となることと同値です．さて，フーリエ級数展開を用いれば，整数$m$を用いて，
\begin{align*}
f(x+mL)&=\sum_{n=1}^\infty c_n \exp{\left\{i\dfrac{2\pi n}{L}(x+mL)\right\}}\\
&=\sum_{n=1}^\infty c_n \exp{\left(i\dfrac{2\pi n}{L}x\right)}\exp{\left(i\cdot2\pi m n\right)}
\end{align*}
ここで$m$が整数ならば$\exp{(i\cdot 2\pi mn)}=1$となり
\begin{align*}
f(x+mL)&=\sum_{n=1}^\infty c_n\exp{\left(i\dfrac{2\pi n}{L}x\right)}=f(x)
\end{align*}
となります．波数に着目して1次元の逆格子ベクトルを定める
ここまででわかったことは固体結晶に合わせた周期をもつ関数を作るには適切な波数を用意する必要があるということです．よって，以下のように逆格子ベクトルを定義しておきます．1次元の逆格子ベクトル
\begin{align} G=\dfrac{2\pi n}{L} \end{align}
フーリエ級数展開を3次元に拡張する
位置を表すベクトルを$\boldsymbol{r}$とすることにします．格子点を表すベクトル$\boldsymbol{R_n}=n_1\boldsymbol{a_1}+n_2\boldsymbol{a_2}+n_3\boldsymbol{a_3}$を用います．格子点を表すベクトルというのは結晶の周期性を表すベクトルでしたから，\begin{align*}
f(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R_n})&=f(\boldsymbol{r})
\end{align*}
という関係がある関数$f$を考えればよいでしょう．ここでもまた複素フーリエ級数展開します．
\begin{align*}
f(\boldsymbol{r})&=\sum_{n=1}^\infty c_n\exp{\left(\boldsymbol{G_m}\cdot\boldsymbol{r}\right)}
\end{align*}
このとき，
\begin{align*}
f(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R_n})&=\sum_{\boldsymbol{G}}c_{G}\exp{\left\{\boldsymbol{G}\cdot(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R_n})\right\}}\\
&=\sum_{\boldsymbol{G}} c_G \exp{\left(\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{r}\right)}\exp{\left(\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{R_n}\right)}
\end{align*}
先ほどと同じようにこれが$f(\boldsymbol{r})$と等しくなる場合には，
\begin{align*}
\exp{\left(\boldsymbol{G}\cdot \boldsymbol{R_n}\right)}=1
\end{align*}
となる必要があります．このような関係を満たす$\boldsymbol{G}$を求めたいわけです．が，直接求めるのは難しいので以下の式を紹介しておきます．
逆格子空間の基本ベクトル
\begin{align} \boldsymbol{b_1}&=2\pi \dfrac{\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}}{\boldsymbol{a_1}\cdot\left(\boldsymbol{a_2}\times \boldsymbol{a_3}\right)} \label{eq:rpl1}\\ \boldsymbol{b_2}&=2\pi \dfrac{\boldsymbol{a_3}\times\boldsymbol{a_1}}{\boldsymbol{a_2}\cdot\left(\boldsymbol{a_3}\times \boldsymbol{a_1}\right)}\\ \boldsymbol{b_3}&=2\pi \dfrac{\boldsymbol{a_1}\times\boldsymbol{a_2}}{\boldsymbol{a_3}\cdot\left(\boldsymbol{a_1}\times \boldsymbol{a_2}\right)} \end{align}
逆格子空間の格子点を表すベクトル
整数$v_1,v_2,v_3$に対して，
\begin{align} \boldsymbol{G}=m_1\boldsymbol{b_1}+m_2\boldsymbol{b_2}+m_3\boldsymbol{b_3} \end{align}
逆格子基本ベクトルに関する性質まとめ
逆格子基本ベクトルのひとつ，$\boldsymbol{b_1}$について考えましょう．\begin{align*}
\boldsymbol{b_1}&=2\pi \dfrac{\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}}{\boldsymbol{a_1}\cdot\left(\boldsymbol{a_2}\times \boldsymbol{a_3}\right)} \tag{\ref{eq:rpl1}}
\end{align*}
分母は平行六面体の体積を表す
この式の分母\begin{align*}
\boldsymbol{a_1}\cdot\left(\boldsymbol{a_2}\times \boldsymbol{a_3}\right)
\end{align*}
はこの3ベクトルで囲まれる平行六面体の体積を表しています．外積の結果はベクトルで，そのベクトルと他のベクトルの内積を取るのでこの結果はスカラーですね．
また，\eqref{eq:rpl1}の分子について
\begin{align*}
\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}
\end{align*}
はこの$\boldsymbol{a_2,a_3}$の両方に垂直な方向のベクトルです．よって，このベクトルとは$\boldsymbol{a_2,a_3}$のどちらも垂直になります．つまり，
\begin{align*}
\boldsymbol{a_i}\cdot\boldsymbol{b_1}=0(i=2,3)
\end{align*}
ということです．また，
\begin{align*}
\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{b_1}&=2\pi \dfrac{\boldsymbol{a_1}\cdot(\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3})}{\boldsymbol{a_1}\cdot\left(\boldsymbol{a_2}\times \boldsymbol{a_3}\right)}\\
&=2\pi
\end{align*}
となります．(まさかの分母分子が同じ形でかつスカラーになりましたね．)
逆格子基本ベクトルと基本並進ベクトルの関係
同様の関係が，$\boldsymbol{b_2},\boldsymbol{b_3}$でも成り立つので，関係をまとめると，$\boldsymbol{a_i}$と$\boldsymbol{b_j}$の関係
クロネッカーのデルタ$\delta_{ij}$($i=j$で1,$i\ne j$で0)をもちいて，
\begin{align} \boldsymbol{a_i}\cdot\boldsymbol{b_j}=2\pi \delta_{ij} \end{align}
逆格子まとめ
逆格子というのは実際にはフーリエ変換して波数空間上を考えているだけです．だからフーリエ級数展開と密接な関係がありました．結晶は周期的な配置をしているのでこの逆格子空間で考えることが非常に有用なわけですね．