フーリエ解析④ 複素フーリエ級数展開
複素フーリエ級数とは?
\begin{align*}
f(x)&=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left(i\dfrac{n\pi}{L}x\right)}\\ c_n&=\displaystyle \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\exp{\left(-i\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\end{align*}
となります。(今回も収束の話は無視しています。)
オイラーの公式を用いる
複素数型フーリエ級数の導出は簡単です。オイラーの公式\begin{align*}e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\end{align*}
を用いて以下のフーリエ級数展開の式、
\begin{align*}\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos{\dfrac{n\pi}{L}x}+b_n \sin{\dfrac{n\pi}{L}x}\right)\end{align*}
を変形します。ここで、三角関数はオイラーの公式を用いて、
\begin{align*}\sin{\theta}=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i},\cos{\theta}=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\end{align*}
と表せるので、フーリエ級数の$n\ne0$の部分は、
\begin{align*}
\displaystyle &\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\dfrac{e^{i\frac{n\pi}{L}x}+e^{-i\frac{n\pi}{L}x}}{2}-i b_n\dfrac{e^{i\frac{n\pi}{L}x}-e^{-i\frac{n\pi}{L}x}}{2}\right)\\ =&\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{a_n-ib_n}{2}e^{i\frac{n\pi}{L}x}+\dfrac{a_n+ib_n}{2}e^{-i\frac{n\pi}{L}x}\right)\end{align*}
ここで、\begin{align*}c_n=\dfrac{a_n-ib_n}{2}\end{align*}
とおくことにします。また、$\cos{\left(-\theta\right)}=\cos{\theta}$より、
\begin{align*}
a_{-n}&=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L}f(x)\cos{\left(-\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\\&=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\\&=a_n
\end{align*}
同様に、$\sin{\left(-\theta\right)}=\sin{\theta}$なので、
\begin{align*}
b_{-n}&=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(-\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\\&=-\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\\&=-b_n
\end{align*}
以上より、
\begin{align*}c_{-n}=\dfrac{a_{-n}-ib_{-n}}{2}=\dfrac{a_n+ib_n}{2}\end{align*}
だといえるでしょう。また、$b_0=0$だといえるので、\begin{align*}c_0=\dfrac{a_0}{2}\end{align*}
とすれば、$f(x)$は、
\begin{align*}
&\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(c_{n}e^{i\frac{n\pi}{L}x}+c_{-n} e^{-i\frac{n\pi}{L}x}\right)\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i\frac{n\pi}{L}x}
\end{align*}
となります。さらに、$c_n$は、
\begin{align*}
c_n&=\dfrac{a_n-ib_n}{2}\\
&=\dfrac{1}{2L}\displaystyle \int_{-L}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx-\dfrac{i}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\\
&=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\left\{\cos{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)-i\sin{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}}\right\}dx\\
&=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-i\frac{n\pi}{L}x}dx
\end{align*}
となります。ここで、$f(x)$として、$\left(e^{-i\frac{n'\pi}{L}x}\right)^*=e^{i\frac{n'\pi}{L}x}(n'\in\mathbb{N})$を考えると、
$$
c_n=
\begin{cases}
0&(n'\ne n)\\
1&(n'=n)
\end{cases}$$
となります。よって、複素共役の内積を考えればよいことになります。複素関数の範囲では複素共役を取ったものどうしの内積の平方根がノルムになります。