線形代数⑭ 固有値・固有ベクトル・固有多項式
行列の固有値の計算方法と固有ベクトル
線形代数で習う固有値・固有ベクトルの問題ですが。量子力学でも固有値と固有ベクトルの考え方がわかっていると理解が楽になるような気がします。固有値と固有ベクトルの定義
正方行列\(A\)(正確には線形変換と書いてあることが多いですが行列とかんがえておけばOKです。)と(縦の)ベクトル\(\boldsymbol{x}\)，スカラー値\(\lambda\)に対して，\begin{align*}
A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}
\end{align*}
のようになるとき，\(\lambda\)を固有値，\(\boldsymbol{x}\)を固有ベクトルといいます。固有多項式による固有値の求め方
左辺に項をまとめる
あるベクトルの左側から，正方行列\(A\)をかけると，もとのベクトルのスカラー倍になる，という場合があります。そのスカラーが固有値，ベクトルを固有ベクトルといいます。たとえば最初に示した\(A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}\)について，右辺にまとめると，ただ，このままだと，スカラーと行列の差になっています。これはそのままでは計算できません。
そこで、$\lambda$の後ろに単位行列をつけてあげればよいでしょう。つまり，\(A\)と同じ大きさの単位行列\(E\)を用いて，
\begin{align*}
(\lambda E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
となります。
連立方程式が非自明な解を持つ条件
以下の連立方程式\begin{align*}
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
が非自明な解($\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$以外の解)を持つ条件は、$A$が正則行列でないこと、つまり、$\det{A}$$=0$ということです。
固有ベクトルとしては零ベクトル以外が欲しいので、この条件を使って非自明な解が存在する条件を課します。
固有多項式の導出
今考えている式$(\lambda E-A)\boldsymbol{x}$$=\boldsymbol{0}$で非自明な解が存在するためには\begin{align*}
\det{(\lambda E-A)}=0
\end{align*}
さて，これを計算すると\(\lambda\)の左辺は多項式がでてくるはずです。つまり，\(\lambda\)に関する方程式が出てきます。その解が固有値というわけです。固有ベクトルはこの固有値をもとの方程式に代入して求めます。これは以下の具体例で確認しましょう。
固有値問題の例題
固有多項式を解いて固有値を求める
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
2 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\end{align*}
を考えます。固有ベクトル\(\boldsymbol{x}\)(これは行列\(A\)が\(3\times 3\)の正方行列なので3次元です),固有値\(\lambda\)について，
\begin{align*}
A\boldsymbol{x}&=\lambda \boldsymbol{x}\\
\therefore (\lambda E-A)\boldsymbol{x}&=\boldsymbol{0}
\end{align*}
ここで\(\lambda\)に単位行列をかけて行列に直すことを忘れないでください。ここで，\(\det{(\lambda E-A)}=0\)を課します。ちなみにこの中身は，
\begin{align*}
\lambda E-A&=\lambda \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
2 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0\\
0 & \lambda & 0\\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
2 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda-1 & -3 & 0\\
-2 & \lambda-2 & 0\\
0 & 0 & \lambda-3
\end{pmatrix}
\end{align*}
つまり，課したかった条件はサラスの方法により以下のように計算できます。
\begin{align*}
\det{(\lambda E-A)}&=0\\
\begin{vmatrix}
\lambda-1 & -3 & 0\\
-2 & \lambda-2 & 0\\
0 & 0 & \lambda-3
\end{vmatrix}
&=0\\
(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)-6(\lambda-3)&=0\\
(\lambda+1)(\lambda-3)(\lambda-4)&=0
\end{align*}
さて，つまり，固有値は\(\lambda=-1,3,4\)となります。
固有値ごとに連立方程式を解きなおす
元の方程式は\((\lambda E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \)より，\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\lambda-1 & -3 & 0\\
-2 & \lambda-2 & 0\\
0 & 0 & \lambda-3
\end{pmatrix}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
でした。このたとえば，固有値として，\(\lambda=-1\)を選ぶと，
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
-2 & -3 & 0\\
-2 & -3 & 0\\
0 & 0 & -4
\end{pmatrix}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
となります。この方程式を解くことをはできないでしょうか。具体的に
\begin{align*}
\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}
c_1 \\ c_2 \\ c_3
\end{pmatrix}
\end{align*}
としてみると，
\begin{align*}
\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}
-2c_1-3c_2 \\ -2c_1-3c_2 \\ -4c_3
\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
これより，\(c_1,c_2,c_3\)について連立方程式ができます。ただし，解は，\(c_3=0,3c_2=-2c_1\)より，定数$c$を用いて、
\begin{align*}
\boldsymbol{x}=
\begin{pmatrix}
-3 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
こうして固有ベクトルが定数倍を除いて求められました。固有ベクトルについては，問題で答えを一つに絞るためにベクトルの長さ(ノルム)が指定されているかもしれません。指定がなければひとつ書けば大丈夫です。よって、固有値$-1$に対応する固有ベクトル$\boldsymbol{p}_{-1}$は、
\begin{align*}
\boldsymbol{p}_{-1}=
\begin{pmatrix}
-3 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
さらに別の固有値に対して同じ計算をすれば，また別の固有ベクトルが出てきます。
固有値3,4に対応する固有ベクトルはそれぞれ
\begin{align*}
\boldsymbol{p}_3&=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{p}_4&=
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align*}