線形代数⑮ 行列の対角化
行列の対角化の方法
行列の対角化とは
行列の対角化
正方行列$A$に対して、
\begin{align*}
B=P^{-1}AP
\end{align*}
となる$B$が対角行列になるような正則行列$P$が存在するとき、行列$A$は対角化可能といいます。
対角化行列の性質
\begin{align*}
B=
\begin{pmatrix}
b_1 & & & & \\
& b_2 & & & \\
&& b_3 & & \\
& & & \ddots & \\
& & & & b_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
のとき、
\begin{align*}
B^k=
\begin{pmatrix}
b_1^k & & & & \\
& b_2^k & & & \\
&& b_3^k & & \\
& & & \ddots & \\
& & & & b_n^k
\end{pmatrix}
\end{align*}
となることを利用します。$A$$=PBP^{-1}$が成り立つので、$P^{-1}P$$=E_n$(単位行列)を利用して、
\begin{align*}
A^k
&=(PBP^{-1})(PBP^{-1})\cdots(PBP^{-1}) \\
&=PBE_nBE_n\cdots E_nBP^{-1} \\
&=PB^nP^{-1} \\
\end{align*}
また、$B^n$は先ほどのように簡単に計算できるので、 この式は任意の$n$に対して簡単に計算ができます。
対角化できる方法の紹介
ある$n$次正方行列$A$を対角化することを考えます。行列$A$に$n$個の固有ベクトルが存在すると仮定します。固有ベクトルにラベルをつけて、$i$番目の固有ベクトルを$\boldsymbol{p}_i$,それに対応する固有値を$\lambda_i$とします。つまり、$A\boldsymbol{p}_i$$=\lambda_i\boldsymbol{p}_i$で、\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A\boldsymbol{p}_1 & A\boldsymbol{p}_2 & \cdots & A\boldsymbol{p}_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\lambda_1\boldsymbol{p}_1 & \lambda_2\boldsymbol{p}_2 & \cdots & \lambda_n\boldsymbol{p}_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。ただし、$ \begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \cdots & \boldsymbol{p}_n
\end{pmatrix}$はそれぞれのベクトルが縦に$n$成分を持っていて、$n$次正方行列になります。
さて、この左辺は、$A$をまとめて左に出すことができて、
\begin{align*}
A
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \cdots & \boldsymbol{p}_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。また、右辺は、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \cdots & \boldsymbol{p}_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & & & \\
& \lambda_2 & & & \\
& & \lambda_3 & & \\
& & & \ddots & & \\
& & & & \lambda_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
と表すことができます。まとめると、$P= \begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \cdots & \boldsymbol{p}_n
\end{pmatrix}$,および後ろの固有値を対角成分に持つ行列を$B$と表すと、
\begin{align*}
AP=PB
\end{align*}
実は各固有ベクトルは1次独立で、$P$には逆行列が存在するので、(このことは証明なしで用います。)
\begin{align*}
B=P^{-1}AP
\end{align*}
とできます。これで証明終了です。導出からわかるように対角化の結果は一通りではなく、正則行列$P$の取り方によって変わります。
行列の対角化の例題
以下の行列の対角化を考えます。\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
2 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\end{align*}
まずはこの行列の固有値と固有ベクトルを求めますが、その方法と計算過程は固有値・固有ベクトル・固有多項式の記事を参考にしてもらうことにして、結果だけ述べると、この行列の固有値は$\lambda$$=-1$,$3$,$4$で、それぞれの固有ベクトルは
\begin{align*}
\boldsymbol{v}_{-1}&=
\begin{pmatrix}
-3 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{v}_3&=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{v}_4&=
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
そこで、たとえば、正則行列$P$として、以下の行列を考えます。
\begin{align*}
P=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_4 & \boldsymbol{v}_3 & \boldsymbol{v}_{-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
この逆行列は、
\begin{align*}
P^{-1}=
\dfrac{1}{5}
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
と計算できます。$P^{-1}AP$を計算すると、
\begin{align*}
P^{-1}AP
&=
\dfrac{1}{5}
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
2 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{1}{5}
\begin{pmatrix}
8 & 12 & 0 \\
0 & 0 & 15 \\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{1}{5}
\begin{pmatrix}
20 & 0 & 0 \\
0 & 15 & 0 \\
0 & 0 & -5
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}
として対角化が完了しました。この順番で出てきたのは、
\begin{align*}
P=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_4 & \boldsymbol{v}_3 & \boldsymbol{v}_{-1}
\end{pmatrix}
\end{align*}
としているからで、もし、
\begin{align*}
P=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_3 & \boldsymbol{v}_4 & \boldsymbol{v}_{-1}
\end{pmatrix}
\end{align*}
としていれば、
\begin{align*}
P^{-1}AP=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。