解析力学③補足① ルジャンドル変換
ルジャンドル変換とは？
数学的にラグランジアンとハミルトニアンの関係を考えてみます。ラグランジアンからハミルトニアンの変換
たとえば、解析力学ではラグランジアン$L$からハミルトニアン$H$への変換を行います。これは実はルジャンドル変換になっています。いま、実はオイラー・ラグランジュ方程式を考えればわかることですが、ラグランジアンは$q$,$\dot{q}$の関数ですが、ハミルトニアンは$q$と共役運動量$p$の関数になっています。もちろん変数変換以上の意味を持っていて、ルジャンドル変換と名前がついています。ラグランジアンの全微分を考えます。
\begin{align*}
dL=\sum_{i}\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\right)
\end{align*}
ここで、共役運動量の定義を用いれば、
\begin{align*}
dL=\sum_i \left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+p_id\dot{q}_i\right)
\end{align*}
いま、作りたいのは$\dot{q}_i$から$p_i$に変数を変えた関数ですね。つまり、上の微小量を考えるうえで$d\dot{q}_i$が邪魔です。この文字を消すために、以下のようにハミルトニアンを定義することにします。
\begin{align*}
H&=\sum_i \dot{q}_ip_i-L \\
\end{align*}
この微小量をとると、再び共役運動量の定義を用いて、
\begin{align*}
dH&=\sum_i\left(p_i\ d\dot{q}_i+\dot{q}_i\ dp_i\right)-\sum_{i}\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\right) \\
&=\sum_i\left(p_i\ d\dot{q}_i+\dot{q}_i\ dp_i\right)-\sum_{i}\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+p_i\ d\dot{q}_i\right) \\
&=\sum_i \left(\dot{q}_i\ dp_i-\dfrac{\partial L}{\partial q_i}dq_i\right)
\end{align*}
これで微小量$\dot{q}_i$がいなくなりました。ところで、ハミルトニアンはこの式から$p_i$と$q_i$の関数だとわかりますね。よって、以下のようにしてみましょう。
\begin{align*}
dH=\sum_i \left(\dfrac{\partial H}{\partial p_i}dp_i+\dfrac{\partial H}{\partial q_i}dq_i\right)
\end{align*}
1次元のルジャンドル変換を考える
1次元の場合にはハミルトニアンは以下のようになります。\begin{align*}
H=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}-L =p\dot{q}-L \label{eq:1}
\end{align*}
式を少し変形して、
\begin{align}
L&=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}-H \label{eq:2}
\end{align}
逆に、$\dfrac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}$なので、
\begin{align}
L&=\dfrac{\partial H}{\partial p}p-H \\
\therefore H=&=\dfrac{\partial H}{\partial p}p-L \label{eq:3}
\end{align}
というようにかなり対称的な式になっています。つまり、「変換」したのちに「元に戻す」という操作が許されそうです。
ところで、\eqref{eq:2}を考えると、$L-\dot{q}$グラフ上で、切片が$-H$の直線のように見えると思います。つまり、$\dot{q}$と$L$を指定すれば、$p$と$H$が決まります。逆に、\eqref{eq:3}では$p$と$H$が決まれば、$\dot{q}$と$L$が求められます。
ところで、もし、$\dot{q} \mapsto p$が単射でないなら、同じ値の運動量に対して、二つの$\dot{q}$が存在します。つまり、ラグランジアンがある$p$に対して複数存在する可能性があります。これは不適切ですね。つまり、$\dot{q}\mapsto p$は単射である必要があります。
$\dot{q}\mapsto p$は以下のようにあらわされたのでした。
\begin{align*}
p=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}
\end{align*}
これが単射であるためには単調関数であればよいでしょう。つまり、
\begin{align*}
\dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}}=\dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}
\end{align*}
の符号がずっと一定であればよいことになります。つまり、ラグランジアンは凸関数または凹関数である必要があります。同様のやり方でハミルトニアンが凸関数、または、凹関数である必要があります。この条件が満たされていないと、ルジャンドル変換を2回やってももとに戻らないということになります。