解析力学⑤ 保存量
保存量となる物理量は?
まず保存量というものを$i=1,2,\cdots,n$として「一般化座標$q^i$と$\dot{q}^i$と時刻$t$によらず一定となる」関数として説明します。時間並進に対する保存量
ラグランジアン$L$は、$\{q^i\}$,$\{\dot{q}^i\}$に依存するものとして考えます。時刻に対しては依存しないことが言えます。これは、今から実験しても、10分後に実験をしてもその結果は周囲の状況が変わらない限りは結果は同じはずです。というわけで時刻にあらわに依存はしません。というわけで時間による偏微分は0になります。ただし、常微分は0になるとは限りません、一般化座標が時間に伴って変化する場合があるからですね。よって、ラグランジアンの時間微分は以下のようになります。
\begin{align*}
\dfrac{dL}{dt}
&=\dfrac{\partial L}{\partial t}+\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{dq^i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial q^i}+\dfrac{d\dot{q}^i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right)
\end{align*}
さて、ここで先ほど述べたように第一項は0になります。後半の式についてオイラーラグランジュ方程式より、
\begin{align*}
\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q^i}=0
\end{align*}
が成り立つので$q^i$による微分を消去すると、
\begin{align*}
\dfrac{dL}{dt}
&=\sum_{i=1}^n \left\{\dfrac{dq^i}{dt}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right)+\dfrac{d\dot{q}^i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right\} \\
&=\sum_{i=1}^n \left\{\dot{q}^i\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right)+\dfrac{d\dot{q}^i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right\} \\
&=\dfrac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n \dot{q}^i\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right)
\end{align*}
また、共役運動量$p^i$の定義
\begin{align*}
p_i\stackrel{def}{=}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}
\end{align*}
を用いれば、
\begin{align*}
\dfrac{dL}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n q^ip^i\right)
\end{align*}
となります。すべてまとめれば、
\begin{align*}
\dfrac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n \dot{q}^ip^i-L\right)=0
\end{align*}
この中身がハミルトニアンの定義そのものなので、
\begin{align*}
\dfrac{dH}{dt}=0
\end{align*}
といえます。つまり、時間の並進対称性に対する保存量になります。
空間並進に対する保存量
空間座標を$\boldsymbol{r}$から$\boldsymbol{r}+\delta \boldsymbol{r}$だけずらすことを考えます。ここで、\begin{align*}
\delta L =\sum_{i=1}^N \nabla_i L\cdot \delta \boldsymbol{r}=\left(\sum_{i=1}^N \nabla_i L \right)\cdot \delta \boldsymbol{r}
\end{align*}
いま、空間座標全体が一様にずれているので各番号に対してずれ$d\boldsymbol{r}$が一定です。ここで、このずれによらずに$\delta L$が零になるためには、
\begin{align*}
\sum_{i=1}^N \nabla_i L=\boldsymbol{0}
\end{align*}
となります。ここで、この式をベクトルとして書くと、
\begin{align*}
\sum_{i=1}^N
\begin{pmatrix}
\frac{\partial L}{\partial x_i} \\
\frac{\partial L}{\partial y_i} \\
\frac{\partial L}{\partial z_i}
\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
この成分それぞれに対して、オイラー・ラグランジュ方程式を用いると、
\begin{align*}
\sum_{i=1}^N
\begin{pmatrix}
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \\
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}_i} \\
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{z}_i}
\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
ここで、また共役運動量の定義を用いて、
\begin{align*}
\sum_{i=1}^N
\begin{pmatrix}
\frac{d}{dt}p_{ix} \\
\frac{d}{dt}p_{iy} \\
\frac{d}{dt}p_{iz}
\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
\end{align*}
時間微分を外に出して、
\begin{align*}
\dfrac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^N\boldsymbol{p}_i\right) =\boldsymbol{0}
\end{align*}
かっこの中身は全運動量なので、全運動量は保存することがわかります。
空間回転に対する保存量
空間回転の回転軸方向に$\delta\boldsymbol{\phi}$という微小なベクトルを取ります。このとき、座標の微小変化は\begin{align*}
\boldsymbol{r}+\delta\boldsymbol{\phi}\times\boldsymbol{r}
\end{align*}
となります。たとえば、$\delta\boldsymbol{\phi}$を$z$軸方向にとればこの式が正しそうなことがわかるとおもいます。さらにこの辺々を時間微分します。ただし、$\delta\boldsymbol{\phi}$は定ベクトルなので無視して、
\begin{align*}
\boldsymbol{v}+\delta\boldsymbol{\phi}\times\boldsymbol{v}
\end{align*}
となります。このとき、ラグランジアンの変化は
\begin{align*}
\delta L
&=\sum_{i=1}^N \left\{
\begin{pmatrix}
\frac{\partial L}{\partial x_i} \\
\frac{\partial L}{\partial y_i} \\
\frac{\partial L}{\partial z_i}
\end{pmatrix}
\cdot d\boldsymbol{r}_i+
\begin{pmatrix}
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{y}_i} \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{z}_i}
\end{pmatrix}
\cdot d\boldsymbol{v}_i \right\}\\
&=\sum_{i=1}^N \left\{
\begin{pmatrix}
\frac{\partial L}{\partial x_i} \\
\frac{\partial L}{\partial y_i} \\
\frac{\partial L}{\partial z_i}
\end{pmatrix}
\cdot (\delta\boldsymbol{\phi}\times\boldsymbol{r}_i)+
\begin{pmatrix}
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{y}_i} \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{z}_i}
\end{pmatrix}
\cdot (\delta\boldsymbol{\phi}\times \boldsymbol{v}_i)
\right\} \\
&=\sum_{i=1}^N \left\{
\dfrac{d}{dt}\begin{pmatrix}
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{y}_i} \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{z}_i}
\end{pmatrix}
\cdot (\delta\boldsymbol{\phi}\times\boldsymbol{r}_i)+
\begin{pmatrix}
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{y}_i} \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{z}_i}
\end{pmatrix}
\cdot (\delta\boldsymbol{\phi}\times \boldsymbol{v}_i)
\right\} \\
&=\sum_{i=1}^N\left\{ \dfrac{d\boldsymbol{p}_i}{dt}\cdot(\delta\boldsymbol{\phi}\times\boldsymbol{r}_i)+\boldsymbol{p}_i\cdot(\delta \boldsymbol{\phi}\times\boldsymbol{v}_i)\right\}
\end{align*}
ただし、ここでもオイラー・ラグランジュ方程式と共役運動量の定義を用いました。さて、この式を変形しましょう。スカラー三重積
\begin{align*}
\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=\boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})=\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})
\end{align*}
を用います。$\delta\boldsymbol{\phi}$を前に持ってきます。$\boldsymbol{v}_i$を位置の時間微分に書き直して、
\begin{align*}
\delta L&=\delta \boldsymbol{\phi}\cdot \left[\sum_{i=1}^N \left(\boldsymbol{r}_i\times \dfrac{d\boldsymbol{p}_i}{dt}+\dfrac{d\boldsymbol{r}_i}{dt}\times \boldsymbol{p}_i \right)\right] \\
&=\delta \boldsymbol{\phi}\cdot \left[\dfrac{d}{dt}\left\{\sum_{i=1}^N \left(\boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{p}_i\right)\right\} \right]
\end{align*}
この変化が0となるためには後半の部分が0になる必要があります。ちなみに後半の中身は
\begin{align*}
\boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{p}_i=\boldsymbol{l}_i
\end{align*}
という角運動量です。つまり、全角運動量が保存します。