解析力学⑥ ネーターの定理
ネーターの定理とは？
前回個別に導いた定理を一般化します。ネーターの定理の内容
ネーターの定理
系に連続な対称性があれば対応する保存則が存在する。
ネーターの定理の証明
まずは作用積分から出発します。\begin{align*}
I=\int_{t_1}^{t_2} dt\ L
\end{align*}
ただし、ラグランジアンは$i=1,2,\cdots ,n$について$q_i$,$\dot{q}_i$,$t$に依存するとします。ここで、作用積分の変分を取ることにします。オイラー・ラグランジュ方程式の記事では、時間の変化は無視しましたが、ここでは時間もずらしてみます。
\begin{align*}
\delta I=\int_{t_1}^{t_2} dt\left[\sum_{i=1}^n\ \left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\right)+\dfrac{dL}{dt}\delta t\right]
\end{align*}
さて、和を取っている部分の第一項については各$i$について、オイラーラグランジュ方程式より、
\begin{align*}
\delta I
&=\int_{t_1}^{t_2} dt\left[\sum_{i=1}^n\ \left\{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta q_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q_i}\right\}+\dfrac{\partial L}{\partial t}\delta t\right] \\
&=\int_{t_1}^{t_2} dt\left[\sum_{i=1}^n\ \left\{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta q_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d(\delta q_i)}{dt}\right\}+\dfrac{\partial L}{\partial t}\delta t\right] \\
&=\int_{t_1}^{t_2} dt\left\{\dfrac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n\ \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right)+\dfrac{\partial L}{\partial t}\delta t\right\} \\
&=\left[\sum_{i=1}^n\ \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i \right]^{t_2}_{t_1}+\int_{t_1}^{t_2}dt\ \dfrac{\partial L}{\partial t}\delta t
\end{align*}
さて、後半部分についてです。ラグランジアンの時間微分を計算します。
\begin{align*}
\dfrac{dL}{dt}
&=\dfrac{\partial L}{\partial t}+\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{dq_i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial q_i}+\dfrac{d\dot{q}_i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) \\
&=\dfrac{\partial L}{\partial t}+\sum_{i=1}^n \left\{\dfrac{dq_i}{dt}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)+\dfrac{d\dot{q}_i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right\} \\
&=\dfrac{\partial L}{\partial t}+\sum_{i=1}^n \left\{\dot{q}_i\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)+\dfrac{d\dot{q}_i}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right\} \\
&=\dfrac{\partial L}{\partial t}+\dfrac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n \dot{q_i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)
\end{align*}
よって、
\begin{align*}
\int_{t_1}^{t_2} dt\ \dfrac{\partial L}{\partial t}\delta t
&=\delta t \int_{t_1}^{t_2} dt\ \left\{\dfrac{dL}{dt}-\dfrac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n \dot{q_i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\right\} \\
&=\delta t \int_{t_1}^{t_2} dt\ \dfrac{d}{dt}\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n \dot{q_i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\right\} \\
&=\delta t\left[L-\left(\sum_{i=1}^n \dot{q_i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\right]^{t_2}_{t_1}
\end{align*}
以上をまとめて、$\delta I=0$を課すと、
\begin{align*}
\left[\sum_{i=1}^n\ \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i+\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n \dot{q_i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\right\}\delta t\right]^{t_2}_{t_1} &=0
\end{align*}
が成り立たなければなりません。さて、この始点と終点は任意の時刻を取らなければいけないので、
\begin{align}
\sum_{i=1}^n\ \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i+\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n \dot{q_i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\right\}\delta t=\text{一定} \label{eq:1}
\end{align}
つまり、この式は保存するので左辺をネーターチャージといいます。前提条件として$t$を動かさない設定にしていれば第一項のみが書いてありますし、正負を入れ替えたものを書いてあることもあります。また、微小量が入っているのが気に入らなければ微小量を適当に書き換えている式もあります。
時間並進不変性を課す
時間並進不変性を課します。座標は変化なしで考えるので、\eqref{eq:1}で$\delta q_i=0$として、時間は全体をそのまま$\delta t$だけずらしたと考えれば定数とみなせて、\begin{align*}
\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n \dot{q_i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\right\}\delta t=\text{一定}
\end{align*}
ここでかっこの中に注目します。符号を入れ替えればハミルトニアンの定義そのものですね。つまり、ハミルトニアンが保存することがわかります。
空間並進対称性を課す
ここでは、$\delta t=0$として、空間全体をそのままずらすので$\delta q_i$は定数とみなせて、\begin{align*}
\sum_{i=1}^n\ \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i=\text{一定}
\end{align*}
ここで$\delta q_i$を除いた部分は共役運動量の定義$p_i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$を用いれば全運動量を表していることになります。つまり、全運動量が保存します。
空間回転不変性を課す
$\delta t=0$で空間回転を考えます。回転軸方向の定ベクトル$\delta\boldsymbol{\phi}$を考えて、\begin{align*}
\delta \boldsymbol{r}=\delta\boldsymbol{\phi}\times\boldsymbol{r}
\end{align*}
となります。よって、共役運動量の定義を用いて変形します。今回の場合は和の中がいくつかの座標がまじりあってごちゃごちゃするのでごまかして書いています。
\begin{align*}
\sum_{i}\ \boldsymbol{p}_i\cdot \delta \boldsymbol{r}_i=\sum_{i}\ \boldsymbol{p}_i\cdot (\delta \boldsymbol{\phi}\times\boldsymbol{r}_i)=\text{一定}
\end{align*}
スカラー三重積を用いて、
\begin{align*}
\delta \boldsymbol{\phi}\cdot\left(\sum_{i}\ \boldsymbol{r}_i\cdot \boldsymbol{p}_i\right)=\text{一定}
\end{align*}
これで角運動量保存が導かれました。