量子力学⑯補足③ 連続の式(ディラック方程式)
ディラック方程式の流れは？
シュレディンガー方程式やクラインゴルドン方程式と同様に連続の式と比べてみたいと思います。ディラック方程式と連続の式
ディラック方程式
\begin{align}
\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-\dfrac{mc}{\hbar}\right)\psi=0 \label{eq-quantum163:1}
\end{align}
ただし、ガンマ行列$\gamma^\mu$は計量テンソル$\eta^{\mu\nu}$に対して、
\begin{align}
\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2\eta^{\mu\nu} \label{eq-quantum163:2}
\end{align}
を満たします。
\begin{align}
\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}=0 \label{eq-quantum163:3}
\end{align}
ディラック共役を定義する
ディラック共役を以下のように定義します。ディラック共役$\bar{\psi}$
\begin{align*}
\bar{\psi}=\psi^\dagger \gamma^0
\end{align*}
ディラック方程式を変形する
以下の計算ではガンマ行列は定数行列であることに注意してください。左からディラック共役をかける
ディラック方程式\eqref{eq-quantum163:1}の左から$\bar{\psi}=\psi^\dagger\gamma^0$をかけてみます。\begin{align*}
\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu\partial_\mu - \dfrac{mc}{\hbar}\right)\psi=0
\end{align*}
ここで、ガンマ行列の性質\eqref{eq-quantum163:2}を用いると、$(\gamma^0)^2=\hat{1}$なので、
\begin{align}
i\psi^\dagger \partial_0\psi+i\psi^\dagger\gamma^0\gamma^j\partial_j\psi-\dfrac{mc}{\hbar}\psi^\dagger \gamma^0\psi=0 \label{eq-quantum163:4}
\end{align}
ただし、
\begin{align*}
\gamma^j\partial_j=\gamma^1\partial_1+\gamma^2\partial_2+\gamma^3\partial_3
\end{align*}
というようにアルファベットの添え字は空間で縮約をとることにします。次に、もとのディラック方程式\eqref{eq-quantum163:1}のエルミート行列(随伴行列)をとることにします。一般に$(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger$のようにエルミート行列をとると順番が入れ替わります。また、係数も複素共役を取ることになります。この性質を用いて、
\begin{align*}
-i(\partial_\mu \psi^\dagger)(\gamma^\mu)^\dagger-\dfrac{mc}{\hbar}\psi^\dagger=0
\end{align*}
となります。右から$\gamma^0\psi$をかけて、
\begin{align}
-i(\partial_\mu\psi^\dagger)(\gamma^\mu)^\dagger\gamma^0\psi-\dfrac{mc}{\hbar}\psi^\dagger \gamma^0\psi=0 \label{eq-quantum163:5}
\end{align}
ガンマ行列のエルミート行列
ガンマ行列について$(\gamma^\mu)^\dagger$が出てきたので、これを処理する方法を考えましょう。ガンマ行列の性質として、\begin{align*}
(\gamma^0)^2&=\hat{1} \\
(\gamma^j)^2&=-\hat{1} \ \ (j=1,2,3)
\end{align*}
という性質がありました。つまり、$\gamma^0$の固有値は$\pm1$,$\gamma^j$の固有値は$\pm i$に限られます。つまり、適当な正則行列を用いて、固有値のみを含む対角化行列にすることができます。よって、以下の性質を満たす表示で表すことができます。
\begin{align*}
(\gamma^0)^\dagger&=\gamma^0 \\
(\gamma^j)^\dagger &=-\gamma^j
\end{align*}
これをもちいれば、\eqref{eq-quantum163:5}は、$(\gamma^0)^2=\hat{1}$を用いて、
\begin{align}
-i(\partial_0\psi^\dagger)\psi+i(\partial_j\psi^\dagger)\gamma^j\gamma^0\psi-\dfrac{mc}{\hbar}\psi^\dagger \gamma^0\psi=0 \label{eq-quantum163:6}
\end{align}
さて、今から用いる2式をもう一度書きます。
\begin{align*}
i\psi^\dagger\partial_0\psi+i\psi^\dagger \gamma^0\gamma^j\partial_j \psi-\dfrac{mc}{\hbar}\psi^\dagger\gamma^0\psi&=0 \tag{\ref{eq-quantum163:4}} \\
-i(\partial_0\psi^\dagger)\psi+i(\partial_j\psi^\dagger)\gamma^j\gamma^0\psi-\dfrac{mc}{\hbar}\psi^\dagger \gamma^0\psi&=0 \tag{\ref{eq-quantum163:6}}
\end{align*}
\eqref{eq-quantum163:4}-\eqref{eq-quantum163:6}より、
\begin{align*}
i\psi^\dagger \partial_0\psi+i(\partial_0\psi^\dagger)\psi+i\psi^\dagger\gamma^0\gamma^j\partial_j\psi-i(\partial_j\psi^\dagger)\gamma^j\gamma^0\psi=0
\end{align*}
さて、全項に共通な$i$を除きます。さらに$\gamma^0\gamma^j$$=$$\gamma^j\gamma^0$($j=$1,2,3)なので、
\begin{align*}
\psi^\dagger \partial_0\psi+(\partial_0\psi^\dagger)\psi+\psi^\dagger\gamma^0\gamma^j\partial_j\psi+(\partial_j\psi^\dagger)\gamma^0\gamma^j\psi=0
\end{align*}
積の微分法を考えれば、これは以下の式と同じとわかります。
\begin{align*}
\partial_0(\psi^\dagger \psi)+\partial_j(\psi^\dagger\gamma^0\gamma^j\psi)=0
\end{align*}
もちろん第二項は縮約を取ります。ただし、係数については調節の余地があり、光速度$c$を用いて、以下のように確率流を定義します。
\begin{align*}
\rho&=\psi^\dagger\psi \\
j^k&=c\psi^\dagger \gamma^0\gamma^k\psi=c\bar{\psi}\gamma^k\psi
\end{align*}
ただ、$(\gamma^0)^2=\hat{1}$という関係から$j^\mu$$=$$(\rho c,\boldsymbol{j})$を以下のようにまとめて書くこともできます。
\begin{align*}
j^\mu=c\psi^\dagger \gamma^0\gamma^\mu\psi=c\bar{\psi}\gamma^\mu\psi
\end{align*}
これで、この$j^\mu$に対して
\begin{align*}
\partial_\mu j^\mu=0
\end{align*}
が成り立つことになります。
\begin{align*}
\rho=\psi^\dagger\psi\geq 0
\end{align*}
より負の確率密度は解決できました。