解析力学⑦ 正準変換
正準変換とは？
座標変換を超えて運動量とごちゃまぜで変換を行います。新しい正準変数を考える
座標変換に対して、オイラー・ラグランジュ方程式は不変となります。さて、これをハミルトニアンについても同様に考えましょう。一般化座標$q_i$と共役運動量$p_i$について、ハミルトニアン$H_0$について正準方程式を満たすとしましょう。ここで、\begin{align*}
Q_i(p,q,t) \\
P_i(p,q,t)
\end{align*}
という新しい変数を用意したときに、新しいハミルトニアン$H$について、正準方程式を満たすような変換を正準変換と呼びます。
ラグランジアン・ハミルトニアンの自由度
以下では簡単のために、$i=1$として$(p,q)$$\mapsto$$(P,Q)$の場合だけ考えます。ラグランジアンやハミルトニアンは全く同じ関数形である必要はありません。最小作用の原理で要求されているのは
\begin{align*}
I=\int_{t_1}^{t_2}L\ dt
\end{align*}
この作用積分が極小となるようなラグランジアンであればよいわけです。ラグランジアンの後に関数$W$の常微分項があったのなら、
\begin{align*}
\int_{t_1}^{t_2} \dfrac{dW}{dt}\ dt=\left. W\right|^{t_2}_{t_1}=W(t_2)-W(t_1)
\end{align*}
となり、途中の経路にはよらないですね。よって変分を考えても結局0になります。よって、正準変換前後のラグランジアンには時間の常微分項を付け加える自由度があります。
\begin{align}
\dot{q}p-H_0=\dot{Q}P-H+\dfrac{dW}{dt} \label{am7-eq:1}
\end{align}
ここで用いた$W$を母関数と呼びます。
母関数について考える
母関数$W$$=$$W(q,Q,t)$を考えます。なぜこの引数なのかは後々説明するので先に進んでください。この時間微分項を計算すると、\begin{align*}
\dfrac{dW}{dt}=\dfrac{\partial W}{\partial q}\dot{q}+\dfrac{\partial W}{\partial Q}\dot{Q}+\dfrac{\partial W}{\partial t}
\end{align*}
この式を\eqref{am7-eq:1}に代入すると、
\begin{align*}
\dot{q}p-H_0&=\dot{Q}P-H+\dfrac{\partial W}{\partial q}\dot{q}+\dfrac{\partial W}{\partial Q}\dot{Q}+\dfrac{\partial W}{\partial t}
\end{align*}
左辺にまとめると、
\begin{align*}
\left(p-\dfrac{\partial W}{\partial q}\right)\dot{q}-\left(P+\dfrac{\partial W}{\partial Q}\right)\dot{Q}+\left(H-H_0-\dfrac{\partial W}{\partial t}\right)=0
\end{align*}
これが、$\dot{q}$$\dot{Q}$にかかわらず成り立つためには、
\begin{align*}
p&=\dfrac{\partial W}{\partial q} \\
P&=-\dfrac{\partial W}{\partial Q} \\
H&=H_0+\dfrac{\partial W}{\partial t}
\end{align*}
引数はどう選ぶ？
\eqref{am7-eq:1}は、\begin{align}
dW=(H-H_0)dt+pdq-PdQ \label{am7-eq:2}
\end{align}
と変形できます。つまり、この状況では、$W$は、$t$,$q$,$Q$に依存していることがわかります。よって、
\begin{align*}
W=W(q,Q,t)
\end{align*}
という引数を設定しました。
引数を変えたいときにはどうする？
たとえば、引数を$p$,$Q$にしたいときはどうすればよいでしょう?積の微分法と同様に考えれば以下のことがわかるでしょう。\begin{align*}
d(pq)=q dp+p dq
\end{align*}
これを\eqref{am7-eq:2}に用いて、
\begin{align*}
dW&=(H-H_0)dt+d(pq)-qdp-PdQ \\
\therefore d(W-pq)&=(H-H_0)dt-qdp-PdQ
\end{align*}
よって、この右辺は$t$,$p$,$q$の微小量になります。右辺が母関数の引数についての微小量になるように調節すればよいことになります。
母関数の正体とは
先ほどから紹介している母関数とはなにものでしょうか？まず、出発点である作用積分に戻りましょう。1次元で、\begin{align*}
I=\int_{t_1}^{t_2} Ldt=\int_{t_1}^{t_2} \left(p\dot{q}-H(p,q)\right)dt
\end{align*}
ここで、作用積分の時間微分をとると、中身がそのまま出てきて、
\begin{align*}
\dfrac{dI}{dt}=\left\{p(t_2)\dot{q}(t_2)-H(p(t_2),q(t_2))\right\}-\left\{p(t_1)\dot{q}(t_1)-H(p(t_1),q(t_1))\right\}
\end{align*}
さて、ここで$t_1$が付いた変数を$(p,q,H_0)$,$t_2$側の変数を$(P,Q,H)$と表すと、
\begin{align*}
dI=-\left\{(H-H_0)dt+pdq-PdQ\right\}
\end{align*}
これは\eqref{am7-eq:2}と全く同じですね。というわけで、母関数は作用積分と符号や定数を除いて一致することがわかります。