相対性理論⑯ アインシュタイン方程式
アインシュタイン方程式の導出
前回までに導出した重力場の作用であるアインシュタイン-ヒルベルト作用とエネルギー・運動量テンソルに絡む物質場の作用を用いてアインシュタイン方程式を導出します。アインシュタイン方程式
アインシュタイン方程式(宇宙項なし)
アインシュタインテンソル$G_{\mu\nu}$,エネルギー運動量テンソル$T_{\mu\nu}$に対して、
\begin{align*}
G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}
\end{align*}
ただし、$\kappa$は定数です。
アインシュタイン-ヒルベルト作用、物質場の作用の変分
さて、アインシュタイン-ヒルベルト作用$S_g$と、物質場の作用$S_m$は以下のようにあらわされました。$c_g$,$c_m$は定数です。\begin{align*}
S_g&=c_g\int R\sqrt{-g}d^4x \\
S_m&=c_m\int \mathcal{L}_m\sqrt{-g}d^4x
\end{align*}
さらに。この変分は前回、前々回の結果から以下のようになるのでした。
\begin{align*}
\delta S_g
&=c_g\int\left(R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x
=c_g\int G_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x \\
\delta S_m
&=-\dfrac{c_m}{2}\int\left(g_{\mu\nu}-2\dfrac{\partial \mathcal{L}_m}{\partial g^{\mu\nu}}\right)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x
=-\dfrac{c_m}{2}\int T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x
\end{align*}
アインシュタイン方程式を導く作用は？
アインシュタインを導く作用積分$S$として以下の積分を考えます。\begin{align*}
S=S_g+S_m
\end{align*}
さて、この変分は
\begin{align*}
\delta S
&=\delta S_g+\delta S_m \\
&=c_g\int G_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x-\dfrac{c_m}{2}\int T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x \\
&=c_g\int\left(G_{\mu\nu}-\dfrac{c_m}{2c_g}T_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x
\end{align*}
となります。
作用原理を考える
さて、作用原理から作用が極値をとるようば条件をもとめます。変分の被積分関数部分が0になる場合を考えればよいので、\begin{align*}
G_{\mu\nu}=\dfrac{c_m}{2c_g}T_{\mu\nu}
\end{align*}
となりますが、右辺$c_m/2c_g$はあくまで定数なので、これを$\kappa$で置きなおすと、
\begin{align*}
G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}
\end{align*}