相対性理論⑮ エネルギー・運動量テンソル
物質場からエネルギー・運動量テンソルの導出
次の記事で重力方程式を導きたいのですが、そのためには重力場だけではなく物質が存在することからできる場、物質場を考える必要があるでしょう。物質場の作用積分を考える
物質場は具体的な分布を考えると、適用範囲が狭くなってしまうので、一旦大雑把に、以下の形に作用積分を決めておきます。ただし、$c_m$は定数です。\begin{align*}
S_m=c_m\int\mathcal{L}_m\sqrt{-g}d^4x
\end{align*}
さて、前回、アインシュタインテンソルを導出したのに習って、$g^{\alpha\beta}$による変分を取ることにします。
\begin{align*}
\delta S_m=c_m\int \left\{\dfrac{\partial \mathcal{L}_m}{\partial g^{\alpha\beta}}\sqrt{-g}+\mathcal{L}_m\dfrac{\partial\sqrt{-g}}{\partial g^{\alpha\beta}}\right\}\delta g^{\alpha\beta}d^4x
\end{align*}
第二項に関しては前回の結果を用いて、
\begin{align*}
\dfrac{\partial\sqrt{-g}}{\partial g^{\alpha\beta}}=-\dfrac{1}{2}g_{\alpha\beta}\sqrt{-g}
\end{align*}
なので、
\begin{align*}
\delta S_m&=c_m\int \left(\dfrac{\partial \mathcal{L}_m}{\partial g^{\alpha\beta}}-\dfrac{1}{2}g_{\alpha\beta}\mathcal{L}_m\right)\sqrt{-g}\delta g^{\alpha\beta}d^4x \\
&=-\dfrac{c_m}{2}\int \left(-2\dfrac{\partial \mathcal{L}_m}{\partial g^{\alpha\beta}}+g_{\alpha\beta}\mathcal{L}_m\right)\sqrt{-g}\delta g^{\alpha\beta}d^4x
\end{align*}
さて、この中身を$T_{\alpha\beta}$とおいて、エネルギー運動量テンソルといいます。
エネルギー・運動量テンソル
\begin{align*}
T_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}\mathcal{L}_m-2\dfrac{\partial \mathcal{L}_m}{\partial g^{\alpha\beta}}
\end{align*}
エネルギー運動量テンソルの中身
具体的な表示を求めていきましょう。さて、相対論的な作用積分は以下のようにあらわされます。ただし、4元速度$u^\mu$を用いています。\begin{align*}
S_r
&=-mc\int\sqrt{-g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}dx^0 \\
&=-c\int d^3x \rho\int\sqrt{-g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}dx^0\\
&=-c\int d^4x \rho\sqrt{-g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu} \\
&=\int d^4x \left(-\rho c\sqrt{\dfrac{-g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}{-g}}\right)\sqrt{-g}d^4x
\end{align*}
よって、
\begin{align}
\mathcal{L}_m=-\rho c\sqrt{\dfrac{-g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}{-g}} \label{eq:1}
\end{align}
ここで、エネルギー運動量テンソルは以下のように定義されていました。
\begin{align}
T_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}\mathcal{L}_m-2\dfrac{\partial \mathcal{L}_m}{\partial g^{\alpha\beta}} \label{eq:2}
\end{align}
ここで、$g_{\alpha\beta}$の微分がやりやすいように$g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu$$=g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu$を用いて、以下のように変形しておきます。
\begin{align*}
\mathcal{L}_m=-\rho c\sqrt{\dfrac{-g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}{-g}}
\end{align*}
この式を用いて、エネルギー運動量テンソルを計算します。まずは、\eqref{eq:2}の第二項について計算します。今回は一様な物質を考えることにしましょう。
\begin{align*}
\dfrac{\partial \mathcal{L}_m}{\partial g^{\alpha\beta}}
&=-\dfrac{1}{2}\rho c\sqrt{\dfrac{-g}{g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}}\dfrac{\partial}{\partial g^{\alpha\beta}}\left(\dfrac{-g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}{-g}\right)
\end{align*}
ここで、アインシュタインテンソルの記事で導出した以下の式
\begin{align*}
\dfrac{\partial g}{\partial g^{\alpha\beta}}=-gg_{\alpha\beta}
\end{align*}
を用いると以下のようになります。
\begin{align*}
\dfrac{\partial \mathcal{L}_m}{\partial g^{\alpha\beta}}
&=-\dfrac{1}{2}\rho c\sqrt{\dfrac{-g}{-g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}}\dfrac{gu_\alpha u_\beta+gg_{\alpha\beta}g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}{g^2} \\
&=-\dfrac{1}{2}\rho c\sqrt{\dfrac{-g}{-g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}}\dfrac{u_\alpha u_\beta+g_{\alpha\beta}g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}{g} \\
&=-\dfrac{1}{2}\rho c\sqrt{\dfrac{-g}{-g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}}\dfrac{u_\alpha u_\beta+g_{\alpha\beta}g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}{g} \\
&=-\dfrac{1}{2}\rho c\sqrt{\dfrac{-g}{-g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu}}\dfrac{u_\alpha u_\beta+g_{\alpha\beta}g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}{g}
\end{align*}
さて、これを\eqref{eq:2}に代入すると、
\begin{align*}
T_{\alpha\beta}
&=-g_{\alpha\beta}\rho c\sqrt{\dfrac{-g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}{-g}}+\rho c\sqrt{\dfrac{-g}{-g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}}\dfrac{u_\alpha u_\beta+g_{\alpha\beta}g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}{g} \\
&=\rho c\sqrt{\dfrac{-g}{-g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}}u_\alpha u_\beta
\end{align*}
さて、ここで非相対論的極限をとりましょう。$|u^i|\ll c$,また、重力が小さいとして、$g_{\mu}\to\eta_{\mu\nu}$とみなします。つまり、$g=\det{g_{\mu\nu}}=-1$で、$-g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu\approx c^2$なので、
\begin{align*}
T_{\alpha\beta}\approx\rho u_{\alpha} u_{\beta}
\end{align*}