相対性理論⑤ 速度の合成則とラピディティ
速度の合成則の導出
特殊相対論的にはどの系から見ても光速度を超えることが禁止になります。では、光速度に近い速さで2物体が互い逆向きに運動すれば片方から見て光速度を超えるのか？という懸念が生まれます。速度の合成則の式
速度の合成則
系$S$から見て、$x$軸方向に一定の速度$v_1$で運動する系$S_1$、系$S_1$から見て$x$軸方向に速度$v_2$で運動する系$S_2$について、系$S$から見た系$S_2$の速度$v$は以下のようになります。
\begin{align*}
v=\dfrac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}
\end{align*}
ローレンツ変換の復習
今回も観測者がいる系$S(t,x,y,z)$とその系に対して$x$軸方向に一定の速さ$v$で運動する系$S^\prime(t^\prime,x^\prime,y^\prime,z^\prime)$を考えます。このとき両系には\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct^\prime \\
x^\prime \\
y^\prime \\
z^\prime
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\end{align*}
という関係がありました。ただし、$\gamma$はローレンツ因子で、
\begin{align*}
\gamma&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
\beta&=\dfrac{v}{c}
\end{align*}
でした。以下、$v_i$に対応する$\beta$,$\gamma$をそれぞれ$\beta_i$,$\gamma_i$で表記します。
ローレンツ変換を繰り返す
まずは、静止系$S$から見て$x$軸方向に速度$v_1$で運動する系$S_1$とその系$S_1$から見て$x$軸方向に速度$v_2$で運動する系$S_2$を考えます。系$S_1$の時刻$t_1$と位置$x_1$と静止系$S$の時刻$t_0$、位置$x_1$との関係は、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct_1 \\ x_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma_1 & -\beta_1\gamma_1 \\
-\beta_1 \gamma_1 & \gamma_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct_0 \\ x_0
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。また、系$S_2$は系$S_1$から見た速度が$x$軸方向に$v_2$なので、
\begin{align}
\begin{pmatrix}
ct_2 \\ x_2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\gamma_2 & -\beta_2 \gamma_2 \\
-\beta_2 \gamma_2 & \gamma_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct_1 \\ x_1
\end{pmatrix}
\nonumber
\\
&=
\begin{pmatrix}
\gamma_2 & -\beta_2 \gamma_2 \\
-\beta_2 \gamma_2 & \gamma_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma_1 & -\beta_1\gamma_1 \\
-\beta_1 \gamma_1 & \gamma_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct_0 \\ x_0
\end{pmatrix}
\nonumber
\\
&=
\begin{pmatrix}
\gamma_1\gamma_2+ \beta_1\beta_2\gamma_1\gamma_2 &-\beta_1\gamma_1\gamma_2-\beta_2\gamma_1\gamma_2 \\
-\beta_2\gamma_1\gamma_2-\beta_1\gamma_1\gamma_2 & \beta_1\beta_2\gamma_1\gamma_2 + \gamma_1\gamma_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct_0 \\ x_0
\end{pmatrix}
\nonumber
\\
&=
\begin{pmatrix}
(1+\beta_1\beta_2)\gamma_1\gamma_2 & -(\beta_1+\beta_2)\gamma_1\gamma_2 \\
-(\beta_1+\beta_2)\gamma_1\gamma_2 & (1+\beta_1\beta_2)\gamma_1\gamma_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct_0 \\ x_0
\end{pmatrix}
\nonumber
\\
&=\gamma_1\gamma_2
\begin{pmatrix}
1+\beta_1\beta_2 & -(\beta_1+ \beta_2) \\
-(\beta_1+\beta_2) & 1+\beta_1\beta_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct_0 \\
x_0
\end{pmatrix} \label{eq:1}
\end{align}
さて、この系の速度は$S$系から見たらどれほどでしょうか？
直接ローレンツ変換した場合は？
$S$系から見た$x$軸方向の速度が$v$だとすれば、以下のような関係があるはずです。\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct_2 \\ x_2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta \gamma & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct_0 \\ x_0
\end{pmatrix}
\\
&=
\gamma
\begin{pmatrix}
1 & -\beta \\
-\beta & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct_0 \\ x_0
\end{pmatrix}
\end{align*}
以下にさきほどの関係\eqref{eq:1}を少し変形した形でもう一度示します。
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct_2 \\ x_2
\end{pmatrix}
&=
\gamma_1\gamma_2(1+\beta_1\beta_2)
\begin{pmatrix}
1 & -\dfrac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2} \\
-\dfrac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2} & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct_0 \\ x_0
\end{pmatrix}
\end{align*}
比較すれば、
\begin{align}
\gamma&=\gamma_1\gamma_2(1+\beta_1\beta_2) \label{eq:2}\\
\beta&=\dfrac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2} \label{eq:3}
\end{align}
という関係があれば、変換として正しいといえるでしょう。\eqref{eq:3}を$\beta=v/c$を用いて形を変えると、
\begin{align}
\dfrac{v}{c}=\dfrac{\frac{v_1}{c}+\frac{v_2}{c}}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}} \label{eq:4}
\end{align}
つまり、合成速度$v$は、
\begin{align}
v=\dfrac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}} \label{eq:5}
\end{align}
となります。\eqref{eq:2}も正しいことが確かめられるはずですが、ただの面倒な計算が続くので今回は省略します。
速度の合成則は非相対論的極限で正しいか
今回考えているのは系$S$に対して速度$v_1$で運動する系$S_1$、系$S_1$に対して速度$v_2$で運動する系$S_2$を考えていました。つまり、ニュートン力学で考えれば、系$S$から見た系$S_2$の速度は$v_1+v_2$のはずです。今回は、非相対論的極限といって、$|v_1|\ll c$,$|v_2|\ll c$という速度が光速度よりも十分小さいとして極限を取ります。\eqref{eq:5}の分母の項は1に近づくので、
\begin{align*}
v=\dfrac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}\to v_1+v_2
\end{align*}
となります。
ラピディティを導入する。
あえて、\eqref{eq:5}ではなく、\eqref{eq:4}に注目してみます。この形、なんとなく$\tan{\theta}$の加法定理に似ていないでしょうか？ただ、分母か分子どちらかがマイナスになるはずなので、少し符号が違います。実は、双曲線関数$\tanh{\theta}$の加法定理\begin{align*}
\tanh{(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tanh{\alpha}+\tanh{\beta}}{1+\tanh{\alpha}\tanh{\beta}}
\end{align*}
と同じ形になっています。また、$\tanh{\theta}$の取りうる値の範囲は、
\begin{align*}
-1 \lt \tanh{\theta} \lt 1
\end{align*}
なので、光速度を超えることができない$|v|$についても、
\begin{align*}
-1\leq \dfrac{v}{c} \leq 1
\end{align*}
となる点からすごく似ています。よって、ラピディティ$\eta$という量を導入して、
\begin{align*}
\tanh{\eta}=\dfrac{v}{c}(=\beta)
\end{align*}
とおきます。このラピディティを用いると、
\begin{align*}
\gamma
&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\tanh^2{\eta}}} \\
&=\cosh{\eta}
\end{align*}
となり、ローレンツ変換は、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct^\prime \\
x^\prime \\
y^\prime \\
z^\prime
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\cosh{\eta} & -\sinh{\eta} & 0 & 0\\
-\sinh{\eta} & \cosh{\eta} & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\end{align*}