相対性理論④ ローレンツ収縮
ローレンツ収縮とは
動いている物体の長さは縮んで見えることが理論的に導かれています。これをローレンツ収縮といいますが、これを特殊相対性理論から導出します。ローレンツ変換・ローレンツ因子の確認
今回も観測者がいる系$S(t,x,y,z)$とその系に対して$x$軸方向に一定の速さ$v$で運動する系$S^\prime(t^\prime,x^\prime,y^\prime,z^\prime)$を考えます。このとき両系には\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct^\prime \\
x^\prime \\
y^\prime \\
z^\prime
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\end{align*}
という関係がありました。ただし、$\gamma$はローレンツ因子で、
\begin{align*}
\gamma&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
\beta&=\dfrac{v}{c}
\end{align*}
でした。
$x^\prime$にだけ注目すると、
\begin{align*}
x^\prime=(-\beta ct +x)\gamma
\end{align*}
となります。
両系の座標の差をとる
ここで、系$S^\prime$の座標系で静止している物体(系$S$から見ると$x$軸方向に速さ$v$で運動している物体)を考えます。位置$x^\prime_1$から$x^\prime_2$まで伸びる物体、つまり、長さ$(x^\prime_2-x^\prime_1)$の物体を系$S^\prime$で観測します。
\begin{align*}
x^\prime_2-x^\prime_1
&=(-\beta ct +x_2)\gamma-(-\beta ct+x_1)\gamma \\
&=(x_2-x_1)\gamma
\end{align*}
つまり、「棒に対して静止」した系($S^\prime$系)から見た長さは、棒に対して速さ$-v$で動く系($S$系)で見ると、$1/\gamma$$=$$\sqrt{1-\beta^2}$倍に縮んだ長さになります。意外と簡単に済んでしまいました。