相対性理論⑦ 測地線方程式
測地線方程式の導出とクリストッフェル記号
測地線方程式というのは曲がった空間での運動方程式みたいなものです。測地線方程式の導出
測地線方程式
局所慣性系を$\{X^\alpha\}$として、一般の座標系$\{x^\alpha\}$中で以下の関係が成り立ちます。
\begin{align*}
\dfrac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\dfrac{\partial^2 X^\nu}{\partial x^\lambda \partial x^\rho}\dfrac{\partial x^\mu}{\partial X^\nu}\dfrac{dx^\lambda}{d\tau}\dfrac{dx^\rho}{d\tau}=0
\end{align*}
導出の方針
最初に等価原理から局所慣性系を考えましょう。その局所慣性系での微分をチェーンルールを使って一般座標系に関する方程式に直していきます。重力を打ち消した局所慣性系
等価原理から重力を打ち消した局所慣性系を考えることができます。この系を$\{X^\alpha\}$ で表すと、\begin{align*}
\dfrac{d^2 X^\alpha}{d \tau^2}=0
\end{align*}
一般座標系の微分項に直していく
とはいえ、局所慣性系だけで考えていても非実用的なので、一般の座標系$\{x^\alpha\}$を考えることにします。\begin{align*}
(\text{左辺})
&=\dfrac{d}{d\tau}\left(\dfrac{dX^\alpha}{d\tau}\right) \\
&=\dfrac{d}{d\tau}\left(\dfrac{dx^\beta}{d\tau}\dfrac{\partial X^\alpha}{\partial x^\beta}\right)\\
&=\dfrac{d^2x^\beta}{d\tau^2}\dfrac{\partial X^\alpha}{\partial x^\beta}+\dfrac{dx^\beta}{d\tau}\dfrac{d}{d\tau}\left(\dfrac{\partial X^\alpha}{\partial x^\beta}\right) \\
&=\dfrac{d^2x^\beta}{d\tau^2}\dfrac{\partial X^\alpha}{\partial x^\beta}+\dfrac{dx^\beta}{d\tau}\dfrac{dx^\gamma}{d\tau}\dfrac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^\gamma \partial x^\beta}
\end{align*}
ゆえに、以下の式が成り立ちます。
\begin{align*}
\dfrac{d^2x^\beta}{d\tau^2}\dfrac{\partial X^\alpha}{\partial x^\beta}+\dfrac{dx^\beta}{d\tau}\dfrac{dx^\gamma}{d\tau}\dfrac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^\gamma \partial x^\beta}=0
\end{align*}
左辺第一項についてなんとなくNewtonの運動方程式に近いような気がしてきました。というわけでかけられている余分な部分を消すために辺々に${\partial x^\delta}/{\partial X^\alpha}$をかけます。
\begin{align*}
\dfrac{d^2x^\beta}{d\tau^2}\dfrac{\partial X^\alpha}{\partial x^\beta}\dfrac{\partial x^\delta}{\partial X^\alpha}+\dfrac{dx^\beta}{d\tau}\dfrac{dx^\gamma}{d\tau}\dfrac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^\gamma \partial x^\beta}\dfrac{\partial x^\delta}{\partial X^\alpha}=0
\end{align*}
ここで以下の関係を用います。
\begin{align*}
\dfrac{\partial x^\rho}{\partial x^\lambda}=\delta^\rho_{\lambda}
\end{align*}
左辺第一項にこの式を適用して、
\begin{align*}
\dfrac{d^2x^\delta}{d\tau^2}
+\dfrac{dx^\beta}{d\tau}\dfrac{dx^\gamma}{d\tau}\dfrac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^\gamma \partial x^\beta}\dfrac{\partial x^\delta}{\partial X^\alpha}=0
\end{align*}
少し式の見栄えが悪いので、添え字を付け替えて、
\begin{align*}
\dfrac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\dfrac{\partial^2 X^\nu}{\partial x^\lambda \partial x^\rho}\dfrac{\partial x^\mu}{\partial X^\nu}\dfrac{dx^\lambda}{d\tau}\dfrac{dx^\rho}{d\tau}=0
\end{align*}
これが測地線方程式になります。
クリストッフェル記号を用意する
クリストッフェル記号を用いた測地線方程式は以下のようになります。クリストッフェル記号
クリストッフェル記号$\Gamma^{\mu}_{\ \lambda \rho}$を用いて測地線方程式は以下のようにあらわされます。
\begin{align*}
\dfrac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma^\mu_{\ \lambda\rho}\dfrac{dx^\lambda}{d\tau}\dfrac{dx^\rho}{d\tau}=0
\end{align*}
\begin{align*}
\Gamma^\mu_{\ \lambda\rho}= \dfrac{\partial^2 X^\nu}{\partial x^\lambda \partial x^\rho}\dfrac{\partial x^\mu}{\partial X^\nu}
\end{align*}
このようになるわけですが、これでは記号の定義に別の座標の情報が含まれてしまっています。というわけでこの式を定義とはせずに、測地線方程式に含まれる記号ということで進めようと思います。