相対性理論⑧ クリストッフェル記号と計量テンソル
クリストッフェル記号と計量テンソル
計量テンソルの定義について
この記事を書くにあたって、計量テンソルの負を空間か時間かどちらにつけるか迷いました。相対論的量子力学のほうでは空間成分に負を、一般相対論では時間成分に負を付けることが多いのですが、相対論的量子力学のほうで空間成分に負を付けていたので...統一しようかな...とか考えましたが...まあ、一般相対論の記事なので時間に負を付けることにします。計量テンソルの意味
計量テンソル
計量テンソルを$g_{\mu\nu}$は
\begin{align*}
ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu
\end{align*}
となるもので、特に局所慣性系では、
\begin{align*}
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}=\text{diag}{(-1,1,1,1)}
\end{align*}
であり、定義より明らかに
\begin{align*}
g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}
\end{align*}
が成り立ちます。
クリストッフェル記号
これが「定義」というわけではないですが、このような表式になるので、先に紹介しておきます。クリストッフェル記号
\begin{align}
{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}=\dfrac{1}{2}g^{\lambda\alpha}\left(\partial_\nu g_{\alpha\mu}+\partial_\mu g_{\alpha\nu}-\partial_\alpha g_{\mu\nu}\right) \label{eq:1}
\end{align}
\begin{align*}
\dfrac{d^2x^\lambda}{d\tau^2}&+{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}&\dfrac{dx^\lambda}{d\tau}\dfrac{dx^\rho}{d\tau}&=0 \\
\dfrac{d^2x^\lambda}{d\tau^2}&+\dfrac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\dfrac{\partial x^\lambda}{\partial X^\alpha}&\dfrac{dx^\lambda}{d\tau}\dfrac{dx^\rho}{d\tau}&=0
\end{align*}
つまり、比較すると、
\begin{align}
{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}=\dfrac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\dfrac{\partial x^\lambda}{\partial X^\alpha} \label{eq:2}
\end{align}
というわけです。さて、クリストッフェル記号に複数の座標系の情報が含まれているので、あまり好ましくないのでした。というわけで最初に用いた表現を導出します。
\begin{align}
ds^2=g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta&=\eta_{\mu\nu}dX^\mu dX^\nu \nonumber \\
\therefore g_{\alpha\beta}&=\dfrac{\partial X^\mu}{\partial x^\alpha}\dfrac{\partial X^\nu}{\partial x^\beta}\eta_{\mu\nu} \label{eq:3}
\end{align}
という関係があるので、
\begin{align}
\partial_\nu g_{\alpha\mu}
&=\dfrac{\partial}{\partial x^\nu} \left(\dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\alpha}\dfrac{\partial X^\gamma}{\partial x^\mu}\eta_{\beta\gamma}\right) \nonumber \\
&=\left\{\dfrac{\partial^2 X^\beta}{\partial x^\nu \partial x^\alpha}\dfrac{\partial X^\gamma}{\partial x^\mu}+\dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\alpha}\dfrac{\partial^2 X^\gamma}{\partial x^\nu \partial x^\mu}\right\}\eta_{\beta\gamma} \label{eq:4}
\end{align}
と計算できます。また、\eqref{eq:2}の辺々に$\partial X^\beta/\partial x^\lambda$をかけると、
\begin{align}
\dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\lambda}{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}&=\dfrac{\partial^2X^\alpha}{\partial x^\mu\partial x^\nu}\dfrac{\partial x^\lambda}{\partial X^\alpha}\dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\lambda} \nonumber \\
&=\dfrac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\delta^\beta_\alpha \nonumber \\
\therefore \dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\lambda}{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}
&=\dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\mu \partial x^\nu} \label{eq:5}
\end{align}
\eqref{eq:5}を\eqref{eq:4}に用いると、
\begin{align*}
\partial_\nu g_{\alpha\mu}
&=\left\{\dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\lambda}\dfrac{\partial X^\gamma}{\partial x^\mu}{\Gamma^\lambda}_{\nu\alpha}+\dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\alpha}\dfrac{\partial X^\gamma}{\partial x^\lambda}{\Gamma^\lambda}_{\nu\mu}\right\}\eta_{\beta\gamma} \\
&=\dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\lambda}\dfrac{\partial X^\gamma}{\partial x^\mu}\eta_{\beta\gamma} {\Gamma^\lambda}_{\nu\alpha}+\dfrac{\partial X^\beta}{\partial x^\alpha}\dfrac{\partial X^\gamma}{\partial x^\lambda} \eta_{\beta\gamma}{\Gamma^\lambda}_{\nu\mu}
\end{align*}
ここで、\eqref{eq:3}を用います。また、和を取っている文字を変更すると、
\begin{align*}
\partial_\nu g_{\alpha\mu}=g_{\rho\mu}{\Gamma^\rho}_{\nu\alpha}+g_{\alpha\rho}{\Gamma^\rho}_{\nu\mu}
\end{align*}
左から、$g^{\lambda\alpha}$をかけて、計量テンソルの関係$g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$と、$g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}=\delta^\mu_\nu$を用いて計算します。 ただし、計算の中で、\eqref{eq:2}より直ちに分かる${\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}={\Gamma^\lambda}_{\nu\mu}$を用いています。
\begin{align}
g^{\lambda\alpha}\partial_\nu g_{\alpha\mu}
&=g^{\lambda\alpha}g_{\rho\mu}{\Gamma^\rho}_{\nu\alpha}+\delta^\lambda_\rho {\Gamma^\rho}_{\nu\mu} \nonumber \\
&=g^{\lambda\alpha}g_{\rho\mu}{\Gamma^\rho}_{\nu\alpha}+{\Gamma^\lambda}_{\nu\mu} \nonumber \\
&=g^{\lambda\alpha}g_{\rho\mu}{\Gamma^\rho}_{\alpha\nu}+{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu} \label{eq:6}
\end{align}
さて、これはクリストッフェル記号\eqref{eq:1}の(係数をのぞいた)第一項ですが、第二項、第三項についても同様の計算を行います。第二項について、
\begin{align}
g^{\lambda\alpha}\partial_\mu g_{\alpha\nu}
&=g^{\lambda\alpha}\left(g_{\rho\nu}{\Gamma^\rho}_{\mu\alpha}+g_{\alpha\rho}{\Gamma^\rho}_{\mu\nu}\right) \nonumber \\
&=g^{\lambda\alpha}g_{\rho\nu}{\Gamma^\rho}_{\mu\alpha}+\delta^\lambda_\rho {\Gamma^\rho}_{\mu\nu} \nonumber\\
&=g^{\lambda\alpha}g_{\rho\nu}{\Gamma^\rho}_{\mu\alpha}+{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu} \label{eq:7}
\end{align}
第三項について、
\begin{align}
g^{\lambda\alpha}\partial_\alpha g_{\mu\nu}
&=g^{\lambda\alpha}g_{\rho\nu}{\Gamma^\rho}_{\alpha\mu}+g^{\lambda\alpha}g_{\mu\rho}{\Gamma^\rho}_{\alpha\nu} \nonumber \\
&=g^{\lambda\alpha}g_{\rho\nu}{\Gamma^\rho}_{\alpha\mu}+g^{\lambda\alpha}g_{\rho\mu}{\Gamma^\rho}_{\alpha\nu} \nonumber \\
&=g^{\lambda\alpha}g_{\rho\nu}{\Gamma^\rho}_{\mu\alpha}+g^{\lambda\alpha}g_{\rho\mu}{\Gamma^\rho}_{\alpha\nu}\label{eq:8}
\end{align}
以上、まとめると、\eqref{eq:6}+\eqref{eq:7}-\eqref{eq:8}で、
\begin{align*}
2{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}=g^{\lambda\alpha}\partial_\nu g_{\alpha\mu}+g^{\lambda\alpha}\partial_\mu g_{\alpha\nu}-g^{\lambda\alpha}\partial_\alpha g_{\mu\nu} \\
\therefore {\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}=\dfrac{1}{2}g^{\lambda\alpha}(\partial_\nu g_{\alpha\mu}+\partial_\mu g_{\alpha\nu}-\partial_\alpha g_{\mu\nu})
\end{align*}
これでクリストッフェル記号を一つの座標系のデータのみで構成できました。