関数解析⑨ 有界線形作用素
有界作用素・線形作用素とは？
まず、作用素を考えます。作用素
ノルム空間$X$,$Y$を考えます。$X$から$Y$への写像を$x\in X$をもちいて、
\begin{align*}
Tx(\in Y)
\end{align*}
のようにあらわします。
有界作用素の定義とは？
有界作用素
ノルム空間$X$,$Y$で、$X$,$Y$でのノルムをそれぞれ$\|\cdot\|_X$、$\|\cdot\|_Y$のようにあらわします。このとき、任意の$x$について、
\begin{align*}
\|Tx\|_Y\leq M\|x\|_X
\end{align*}
となる$M$が存在するとき、$T$を有界作用素といいます。
\begin{align*}
\|Tx\|_Y\leq \|T\|_{op}\|x\|_X
\end{align*}
ということです。
線形作用素の定義とは？
線形作用素
作用素$T:X\to Y$、$x,x^\prime$$\in X$と、係数体$K$に関して$\alpha$,$\beta$$\in K$を考えます。
\begin{align*}
T(\alpha x+\beta x^\prime)=\alpha Tx+\beta Tx^\prime
\end{align*}