関数解析⑩ 汎関数とリースの表現定理
リースの表現定理の証明
Rieszの表現定理を紹介します。内積をもちいて、線形写像が表せます。汎関数と双対空間
量子力学ではブラケットという計算がありました。ベクトル空間$V$に対して、スカラーを返す作用素$T$が線形写像の時に線形汎関数といいます。この線形汎関数の集合を$V^*$と表します。このとき、$V^*$はベクトル空間になり、双対空間と呼びます。
リースの表現定理とは？
リースの表現定理の示す内容
Rieszの表現定理
ヒルベルト空間$\mathcal{H}$で、$x$$\in\mathcal{H}$を考えます。有界線形汎関数$f$$\in\mathcal{H}^*$について、
\begin{align*}
f(x)=\braket{x_0,x}
\end{align*}
をみたす$x_0$がただ一つ存在します。また、
\begin{align*}
\|f\|_{\mathcal{H}^*}=\|x_0\|_{\mathcal{H}}
\end{align*}
が成り立ちます。左辺は双対空間上のノルム、右辺はHilbert空間上のノルムです。
リースの表現定理の証明
ここで、$z$が存在すること、それが一意になることを示します。存在することを示す
以下のような集合$M$を考えます。\begin{align*}
M=\text{Ker}\ f=\{x\in\mathcal{H}|f(x)=0\}
\end{align*}
また、この直交補空間$M^\perp$を考えます。$z$$\in M^\perp$とすると、$f(z)$$\ne0$となります。ここで、$f$は有界線形汎関数なので、線形性を利用して、$x$$\in\mathcal{H}$について、
\begin{align*}
f\left(x-\dfrac{f(x)}{f(z)}z\right)=f(x)-\dfrac{f(x)}{f(z)}f(z)=0
\end{align*}
つまり、
\begin{align*}
x-\dfrac{f(x)}{f(z)}z\in M
\end{align*}
となります。いま、$z$$\in M^\perp$なので、$x-f(x)z/f(z)$$\in M$と内積を計算すると0、つまり、直交します。
\begin{align*}
0&=\Braket{z,x-\dfrac{f(x)}{f(z)}z} \\
&=\Braket{z,x}-\dfrac{f(x)}{f(z)}\Braket{z,z}
\end{align*}
いま、$\|z\|$$=0$の場合、これを満たすのはノルムの公理から$z$$=0$となりますが、この場合には、$f(x)$$=\braket{z,x}$$=0$となります。というわけで、$\|z\|$$\ne 0$の場合について、$f(x)$について解くと、
\begin{align*}
f(x)
&=\dfrac{f(z)}{\braket{z,z}}\braket{z,x} \\
&=\dfrac{f(z)}{\|z\|^2}\braket{z,x} \\
&=\left(\dfrac{f^*(z)}{\|z\|^2}\braket{x,z}\right)^* \\
&=\Braket{x,\dfrac{f^*(z)}{\|z\|^2}z}^* \\
&=\Braket{\dfrac{f^*(z)}{\|z\|^2}z,x}
\end{align*}
つまり、$z$$\in M^\perp$に対して、
\begin{align*}
x_0=\dfrac{f^*(z)}{\|z\|^2}z
\end{align*}
と選べば、
\begin{align*}
f(x)=\braket{x_0,x}
\end{align*}
が成り立つことになります。これで、存在することは示せたので、一意になることを示します。
一意性を示す
一意性を示すにはもう決まったやり方があります。\begin{align*}
f(x)=\braket{x_0,x}=\braket{x_0^\prime,x}
\end{align*}
と複数通りで表されると仮定して、$x_0$$=x_0^\prime$に限ることを示します。$x_0^\prime$を含む項を移項して、
\begin{align*}
\braket{x_0,x}-\braket{x_0^\prime,x}&=0 \\
\left(\braket{x,x_0}-\braket{x,x_0^\prime}\right)^*&=0 \\
\braket{x,x_0-x_0^\prime}&=0 \\
\end{align*}
これが任意の$x$について成り立ちます。よって、$x$$=$$x_0-x_0^\prime$として、
\begin{align*}
\braket{x_0-x_0^\prime,x_0-x_0^\prime}=\|x_0-x_0^\prime\|^2=0
\end{align*}
よって、$x_0-x_0^\prime$$=0$が導かれます。つまり、$x_0$$=x_0^\prime$が成り立ちます。これで一意性が示せました。
リースの表現定理のノルムの性質
ここまでで、$f(x)$$=\braket{x_0,x}$と表せること、$x_0$が一意になることを示しました。最後に、ノルムが等しいことを示しましょう。もともとベクトル空間$X$,$Y$を考えます。 $x$$\in X$を考えて、$X$から$Y$への有界線形作用素$T$を$=Tx$を満たすようにすると、\begin{align*}
\|Tx\|_Y\leq M\|x\|_X
\end{align*}
という$M$が存在し、その最小値を作用素ノルムとして、$\|T\|_{op}$と定義しました。この場合$Tx$はベクトルになりうるので、$Y$上のノルムで書いています。
今回は、作用素の形ではなく$f(x)$とかいていますが、作用素の場合と同じように考えればよいでしょう。だからノルムで
\begin{align*}
\|f(x)\|\leq M\|x\|_{\mathcal{H}}
\end{align*}
と書きたいところです。ただ、いま、線形汎関数を考えているので、$f$はスカラーになります。というわけで、絶対値で書いてもよいでしょう。
\begin{align*}
|f(x)|\leq M\|x\|_{\mathcal{H}}
\end{align*}
を常に成り立たせる、最小の$M$を$\|f\|_{\mathcal{H}^*}$と定義します。ここまで証明してきたRieszの表現定理の内容を使うと、
\begin{align*}
f(x)=\braket{x_0,x}
\end{align*}
を満たす$x_0$が存在します。シュワルツの不等式より、
\begin{align*}
|\braket{x_0,x}|^2\leq \|x\|^2_{\mathcal{H}}\|x_0\|^2_{\mathcal{H}}
\end{align*}
であり、ノルムは非負なので、
\begin{align*}
|f(x)|=|\braket{x_0,x}|\leq\|x_0\|_{\mathcal{H}}\|x\|_{\mathcal{H}}
\end{align*}
ちなみにこれは適当な条件(たとえば、$x$$=x_0$)で等号が成立します。よって、
\begin{align*}
|f(x)|\leq M\|x\_{\mathcal{H}}|
\end{align*}
を満たす最小の$M$として、$\|x_0\|_{\mathcal{H}}$に選べばよいことになります。以上で、
\begin{align*}
\|f\|_{\mathcal{H}^*}=\|x_0\|_{\mathcal{H}}
\end{align*}
とできます。